코시 적분 정리: 두 판 사이의 차이
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=== 증명 === |
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<math>f(z)</math> 는 <math>z=z_{0}</math> 에서 [[연속]]이므로 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 <math>|f(z)-f(z_{0})|<\epsilon</math> 이면 <math>|z-z_{0}|<\delta</math> 을 만족하는 <math>\delta>0</math> 가 존재한다. |
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이제 <math>0<r<\delta</math> 인 r에 대해 반시계방향 원 <math>C_{0}:|z-z_{0}|=r</math> 이 <math>C</math> 에 포함되도록 작게 그린다. 그러면 코시의 적분정리에 의해 |
이제 <math>0<r<\delta</math> 인 r에 대해 반시계방향 원 <math>C_{0}:|z-z_{0}|=r</math> 이 <math>C</math> 에 포함되도록 작게 그린다. 그러면 코시의 적분정리에 의해 |
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<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz</math> 이다. 양변을 <math>f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math> 로 빼면 |
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<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math> |
:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz</math> 이다. |
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양변을 |
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:<math>f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math> 로 빼면 |
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:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math> 이고 |
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:<math>\oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=2\pi i </math> 이므로 <math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz</math> 이다. |
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또 |
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<math>|\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz|<\frac{\epsilon}{r}2\pi r=2\pi \epsilon </math> 이다. |
:<math>|\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz|<\frac{\epsilon}{r}2\pi r=2\pi \epsilon </math> 이다. |
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:<math>\epsilon>0</math> 이므로 |
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:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=0</math> |
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=== 일반화 === |
=== 일반화 === |
2010년 3월 30일 (화) 16:52 판
코시의 적분정리(Cauchy's integral theorem)은 복소선적분에서의 중요한 정리 중 하나이다. 복소함수의 선적분은 양 끝점에만 좌우되는 것이 아니라, 경로 자체의 선택에도 의존한다. 만약 복소함수가 영역 D에서 해석적이고 D가 단순 연결 되었다면, 주어진 점들 사이의 경로선택에 의존하지 않는다. 이로써 복소선적분의 경로의존성으로부터 벗어날 수 있다.
설명
가 단순연결 정의역 D에서 해석적이면, D에 있는 모든 단순 닫힌 곡선 에 대하여
이다.
코시의 적분공식
설명
단순연결영역 의 에서 해석적인 함수 와 점 와 이를 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 에 대해 이라는 정리이다. 이는 이라고 표현하기도 한다.
증명
는 에서 연속이므로 임의의 에 대하여 이면 을 만족하는 가 존재한다.
이제 인 r에 대해 반시계방향 원 이 에 포함되도록 작게 그린다. 그러면 코시의 적분정리에 의해
- 이다.
양변을
- 로 빼면
- 이고
- 이므로 이다.
또
- 이다.
- 이므로
일반화
코시 적분공식의 일반화는 다음과 같다.
(여기에서 은 f의 n계도함수)
다음을 이용하면 임의의 함수가 에서 해석적이면 그 n계도함수도 에서 해석적임을 증명할 수 있다. 이는 어떤 복소함수가 미분 가능하면 무한번 미분가능함을 알려주고 이는 복소함수의 중요한 성질이다.
예
를 미분하면 가 되고 모든 점에서 해석적이므로 을 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 C에 대해서
이다.
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