대수학의 기본 정리

대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理 ; fundamental theorem of algebra)란 상수가 아닌 복소계수 다항식은 적어도 하나의 영점을 갖는다는 정리이다.

즉, 복소계수 다항식

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0},~a_{n}\neq 0,~n\geq 1$

에 대해 $p(a)=0$ 인 복소수 $a$ 가 적어도 하나는 존재한다는 것이다.

이 정리는 복소수체가 실수체와는 달리 대수적으로 닫혀 있음을 뜻한다.

수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라는 예상이었다. 달랑베르(d'Alembert)와 오일러 등이 증명을 시도하였으나 모두 불완전하였고, 최초로 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 가우스(Carl Friedrich Gauss)였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 가우스는 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 아무도 발견하지 못했으며, 약간의 해석학 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다. 특히 복소해석학을 이용하면 여러 방법으로 증명할 수 있다. 아래에서는 이 중 하나를 소개하도록 한다.

증명

복소 다항식

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0},~a_{n}\neq 0,~n\geq 1$

가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 $z$ 에 대해 $p(z)\neq 0$ 라고 가정하자. 그러면 ${\frac {1}{p(z)}}$ 는 전해석함수이다. 이제 삼각부등식을 이용하여

$|p(z)|=\left|z^{n}(a_{n}+{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}})\right|\geq |z|^{n}\left||a_{n}|-\left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|\right|\cdots \cdots (a)$

를 얻고, $C=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|$라 하면, 양수 $M>1$에 대해 $|z|\geq M$이면

$\left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|\leq {\frac {|a_{n-1}|}{|z|}}+\cdots +{\frac {|a_{0}|}{|z|^{n}}}\leq {\frac {|a_{n-1}|+\cdots +{|a_{0}|}}{|z|}}\leq {\frac {C}{M}}$

이다. 여기서 $M$을 충분히 큰 값으로 선택하여 ${\frac {C}{M}}<{\frac {|a_{n}|}{2}}$ 가 되도록 하면 부등식

$|a_{n}|-\left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|>{\frac {|a_{n}|}{2}}$

이 성립하므로 식 (a)로부터

$\left|{\frac {1}{p(z)}}\right|\leq {\frac {2}{|a_{n}|M^{n}}}$

을 얻는다. 즉, ${\frac {1}{p(z)}}$ 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 리우빌의 정리에 의해 ${\frac {1}{p(z)}}$는 상수함수이다. 그러나 가정에서 ${p(z)}$는 상수가 아니라고 하였으므로 ${\frac {1}{p(z)}}$ 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 ${p(z)}$ 는 적어도 하나의 영점을 갖는다.

따름정리

대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다.

(따름정리) 모든 $n$차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 $n$개의 근을 갖는다.

따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0},~a_{n}\neq 0,~n\geq 1$

에 대해 (서로 다를 필요는 없는) 복소수 $z_{1},\cdots ,z_{n}$이 존재하여

$p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\dotsb (z-z_{n})$

와 같이 쓸 수 있다.

(따름정리의 증명) 대수학의 기본 정리에 의해 $p(z_{1})=0\,$인 점 $z_{1}\,$이 존재하므로

$p(z)=a_{n}(z-z_{1})p_{1}(z)\,$

와 같이 쓸 수 있다. 그런데 $p_{1}(z)\,$은 $(n-1)\,$차의 다항식이므로, 다항식의 차수에 대한 귀납법을 사용하면(대수학의 기본 정리 이용) 증명이 끝난다.

실계수 다항식의 경우

실계수 $n\,$차 다항식의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 고려할 경우 $n\,$개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 $n\,$개의 근을 갖지 안을 수도 있다.

실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 $2$ 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 $a+bi\,$가 실계수 다항식의 근이면 이의 복소켤레 $a-bi\,$도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 그러므로 두 개의 복소계수 일차식의 곱은

$(x-(a+bi))(x-(a-bi))=((x-a)-bi)((x-a)+bi)=((x-a)^{2}+b^{2})\,$

와 같이 ($a,b$는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다.

(실계수 다항식의 근의 켤레성) 만일$z_{0}\,$가 실계수 다항식

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},\,\,\,a_{j}\in \mathbb {R} ,\,\,n\geq 1,\,\,a_{n}\neq 0$

의 복소수 근이면 즉, $p(z_{0})=0\,$이면 $p({\overline {z_{0}}})=0\,$이다.

(증명) 복소켤레 연산의 성질에 의해

$p({\overline {z_{0}}})=a_{n}{\overline {z_{0}}}^{n}+a_{n-1}{\overline {z_{0}}}^{n-1}+\cdots +a_{1}{\overline {z_{0}}}+a_{0}$

$={\overline {a_{n}z_{0}^{n}}}+{\overline {a_{n-1}z_{0}^{n-1}}}+\cdots +{\overline {a_{1}z_{0}}}+{\overline {a_{0}}}$

$={\overline {a_{n}z_{0}^{n}+a_{n-1}z_{0}^{n-1}+\cdots +a_{1}z_{0}+a_{0}}}$

$={\overline {p(z_{0})}}=0$

이다.