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:<math>\left|\frac{1}{p(z)}\right| \le \frac{2}{|a_n|M^{n}}</math> |
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:<math>\left|\frac{1}{p(z)}\right| \le \frac{2}{|a_n|M^{n}}</math> |
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을 얻는다. 즉, <math> \frac{1}{p(z)}</math> 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 [[리우비유 정리 (복소해석학)|리우비유 정리]]에 의해 <math>\frac 1 {p(z)}</math>는 상수함수이다. 그러나 가정에서 <math> {p(z)}</math>는 상수가 아니라고 하였으므로 <math>\frac 1 {p(z)}</math> 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 <math> {p(z)}</math> 는 적어도 하나의 영점을 갖는다. |
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을 얻는다. 즉, <math> \frac{1}{p(z)}</math> 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 [[리우빌의 정리 (복소해석학)|리우빌의 정리]]에 의해 <math>\frac 1 {p(z)}</math>는 상수함수이다. 그러나 가정에서 <math> {p(z)}</math>는 상수가 아니라고 하였으므로 <math>\frac 1 {p(z)}</math> 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 <math> {p(z)}</math> 는 적어도 하나의 영점을 갖는다. |
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===따름정리=== |
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===따름정리=== |
대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理 ; fundamental theorem of algebra)란 상수가 아닌 복소 다항식은 적어도 하나의 영점을 갖는다는 정리이다. 즉, 복소 다항식
에 대해 인 복소수 가 적어도 하나는 존재한다는 것이다.
이 정리는 복소수체가 실수체와는 달리 대수적으로 닫혀 있음을 뜻한다.
수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라는 예상이었다. 달랑베르(d'Alembert)와 오일러 등이 증명을 시도하였으나 모두 불완전하였고, 최초로 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 가우스(Carl Friedrich Gauss)였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 가우스는 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 아무도 발견하지 못했으며, 약간의 해석학 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다.
특히 복소해석학을 이용하면 여러 방법으로 증명할 수 있다. 아래에서는 이 중 하나를 소개하도록 한다.
증명
복소 다항식
가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 에 대해 라고 가정하자. 그러면 는 전해석함수이다. 이제 삼각부등식을 이용하여
얻고, 라 하면, 양수 에 대해 이면
이다. 여기서 을 충분히 큰 값으로 선택하여 가 되도록 하면 부등식
이 성립하므로 식 (a)로부터
을 얻는다. 즉, 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 리우빌의 정리에 의해 는 상수함수이다. 그러나 가정에서 는 상수가 아니라고 하였으므로 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 는 적어도 하나의 영점을 갖는다.
따름정리
대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다.
(따름정리) 모든 차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 개의 근을 갖는다.
따름정리는 다음과 같이 기슬할 수 있다. 복소 다항식
에 대해 (서로 다를 필요는 없는) 복소수 이 존재하여
와 같이 쓸 수 있다.
(따름정리의 증명) 대수학의 기본 정리에 의해 인 점 이 존재하므로
와 같이 쓸 수 있다. 그런데 은 차의 다항식이므로 대수학의 기본 정리 반복적으로 적용하여 보조정리를 증명할 수 있다.