연속 함수

연속 함수는 어떤 임의의 작은 입력값의 변화에 따른 결과값의 변화도 작은 함수를 말한다.

정의

하이네의 정의

다음은 에두아르트 하이네의 정의이다.

실수 집합의 한 부분집합에서 실수 집합으로 가는 함수 $f:X\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$가 주어져 있다고 하자. $a\in X$이고, $\{x_{n}\}$가 $a$로 수렴하는 $X$의 임의의 수열이라 하자. 즉, $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$이다. 이 때, 만일 $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(a)$를 만족할 때, $f$는 $a\in X$에서 연속이다. 또한, 만일 임의의 $a\in X$에 대하여 위 조건이 만족된다면, $f$는 $X$전체에서 연속함수가 된다.

엡실론-델타 정의

극한을 쓰지 않고 함수의 연속성을 다음과 같이 정의할 수 있다.

실수 집합에서 정의되는 함수 f와 정의역에 속하는 임의의 원소 c가 있다고 가정하자. 다음 조건을 만족할 때 함수 f는 c에서 연속이다.

임의의 수 ε>0에 대해, 모든 c−δ < x < c+δ에 속하는 x에 대해 f(c)−ε < f(x) < f(c)+ε을 만족하는 양수 δ가 존재한다.

다시 말해, 실수 집합의 부분집합 A와 B에 대해, f: A→B가 c∈A에서 연속이라는 것은 곧 모든 수 ε > 0에 대해 x ∈ A이고 |x-c| < δ이면 항상 |f(x)-f(c)| < ε를 만족하는 δ > 0가 존재한다는 것이다.

엡실론-델타 정의는 오귀스탱 루이 코시가 처음으로 생각해 냈다.

좌연속성과 우연속성

함수 $f:S\to \mathbb {R}$, 집합 $S\subset \mathbb {R}$와 실수 $c\in S$가 있다 하자.

1. $\lim _{x\rightarrow c^{+}}f(x)=f(c)$이면 $f$가 점 $c$에서 우연속(right-continuous)이라고 한다.

2. $\lim _{x\rightarrow c^{-}}f(x)=f(c)$이면 $f$가 점 $c$에서 좌연속(left-continuous)이라고 한다.

위상공간에서의 연속함수

 이 부분의 본문은 연속함수 (위상수학)입니다.

연속함수에 대한 위의 정의는 위상공간들 사이의 함수에 대해 적용되도록 일반화할 수 있다. 함수 $f:\,X\rightarrow Y$ 가 위상공간 $X$에서 위상공간 $Y$로의 함수라 하자. 이때 임의의 열린 집합 $V\subseteq Y$에 대해 그 역상 $f^{-1}(V)\subseteq X$도 열린 집합일 경우 $f$를 연속함수라 한다.

연속함수의 대수

집합 $S\subset \mathbb {R} ^{n}$이 있고, $C(S)$를 $S$에서 정의된 모든 연속인 실수값함수의 집합이라 하자.

함수 $f,g\in C(S)$ 라 하면, 두 함수간 연산에 대해 다음이 성립한다.

• $f+g\in C(S)$
• $af\in C(S),\ a$는 임의의 실수
• $f\times g\in C(S)$
• $f/g\in C(S),\ g$는 정의역 내 어느 점에 대해서도 0이 아닌 함수이다.

함께 보기

• 반연속성
• 불연속점의 분류
• 고른 연속성
• 절대연속성
• 동등연속성
• 리프쉬츠 연속성
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