당김 (미분기하학)

유클리드 공간에서 미분형식의 당김

f : Rⁿ → R^m 를 미분가능한 함수라 하자. 이러한 함수가 주어지면 Rⁿ 에서의 k-형식 ω 를 R^m 에서의 k-형식으로 바꾸는 f에 의해 유도된 함수 f ^* 를 생각할 수 있다.

$(f^{*}\omega )_{p}(v_{1},\cdots ,v_{k})=\omega _{f(p)}(df_{p}(v_{1}),\cdots df_{p}(v_{k}))$

여기서 p ∈ Rⁿ, v₁, …, v_k ∈ Rⁿ_p (Rⁿ 에서의 점 p 에서의 접공간), df_p : Rⁿ_p → R^m_f(p) 는 점 p 에서 f 의 미분이다.

이는 변수의 치환과 동등하기 때문에 관습적으로 당김을 다음과 같이 쓰기도 한다.

$f^{*}(\omega )=\omega \circ f$

성질

f : Rⁿ → R^m, g : R^p → Rⁿ 를 미분가능한 함수, α 와 β 를 R^m 에서의 k-형식, γ : R^m → R 를 R^m 에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다.

• $f^{*}(\alpha +\beta )=f^{*}(\alpha )+f^{*}(\beta )\;$
• $f^{*}(\gamma \alpha )=f^{*}(\gamma )f^{*}(\alpha )\;$
• $f^{*}(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})=f^{*}(\alpha _{1})\wedge \cdots \wedge f^{*}(\alpha _{k})\;$

여기서 α₁, …, α_k 가 R^m 에서의 1-형식이고 ∧ 는 쐐기곱이다.

• $f^{*}(\alpha \wedge \beta )=f^{*}(\alpha )\wedge f^{*}(\beta )$

여기선 α 와 β 가 같은 계수를 가질 필요는 없다.

• $(f\circ g)^{*}\alpha =g^{*}(f^{*}\alpha )$

참고문헌

• Manfredo P. do Carmo. 《Differential Forms and Applications》. Springer-Verlag.