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== 외부 링크 ==
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* [http://www.encyclopediaofmath.org/ 수학 백과] 의 [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Removable_singular_point 없앨 수 있는 특이점]
* [http://www.encyclopediaofmath.org/ 수학 백과]의 [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Removable_singular_point 없앨 수 있는 특이점]
[[분류:베른하르트 리만]]
[[분류:베른하르트 리만]]
x = 2에서 없앨 수 있는 특이점 을 갖는 포물선 의 그래프복소해석학 에서, 정칙함수 의 없앨 수 있는 특이점(제거 가능한 특이점) 이란 그 점에서 함수가 정의되어 있지는 않지만, 결과적으로 함수가 그 점의 근방 에서 정칙 이 되도록 정의될 수 있는 점을 말한다.
예를 들어, (정규화되지 않은) 싱크함수
sinc
(
z
)
=
sin
z
z
{\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}}
는 z = 0을 특이점으로 갖는다. 이 특이점은
sinc
{\displaystyle {\text{sinc}}}
z 가 0으로 갈 때의 극한인,
sinc
(
0
)
:=
1
{\displaystyle {\text{sinc}}(0):=1}
sinc
{\displaystyle {\text{sinc}}}
부정형 으로 주어졌기 때문에 초래되었다.. 해당 특이점 주변에서
sin
(
z
)
z
{\displaystyle {\frac {\sin(z)}{z}}}
sinc
(
z
)
=
1
z
(
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
z
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
z
2
k
(
2
k
+
1
)
!
=
1
−
z
2
3
!
+
z
4
5
!
−
z
6
7
!
+
⋯
.
{\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .}
형식적으로, 만일
U
⊂
C
{\displaystyle U\subset \mathbb {C} }
복소평면
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
열린 부분집합 이고,
a
∈
U
{\displaystyle a\in U}
U
{\displaystyle U}
f
:
U
∖
{
a
}
→
C
{\displaystyle f:U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }
정칙함수 일 때,
U
∖
{
a
}
{\displaystyle U\setminus \{a\}}
f
{\displaystyle f}
g
:
U
→
C
{\displaystyle g:U\rightarrow \mathbb {C} }
a
{\displaystyle a}
없앨 수 있는 특이점 이라 한다. 이때, 그러한
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
U
{\displaystyle U}
리만의 정리 없앨 수 있는 특이점에 대한 리만 의 정리는 다음과 같다.
정리.
D
⊂
C
{\displaystyle D\subset \mathbb {C} }
a
∈
D
{\displaystyle a\in D}
D
{\displaystyle D}
f
{\displaystyle f}
D
∖
{
a
}
{\displaystyle D\setminus \{a\}}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
유계 인
a
{\displaystyle a}
근방 이 존재한다.
lim
z
→
a
(
z
−
a
)
f
(
z
)
=
0
{\displaystyle \lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}
1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4의 함의는 자명하다. 4 ⇒ 1를 증명하기 위해,
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
증명 ), 즉 거듭제곱급수 표현을 갖는다는 것이다. 다음을 정의하자.
h
(
z
)
=
{
(
z
−
a
)
2
f
(
z
)
z
≠
a
,
0
z
=
a
.
{\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}
분명히, h 는 D -{a }에서 정칙이고, (4)에 의해 다음이 존재한다.
h
′
(
a
)
=
lim
z
→
a
(
z
−
a
)
2
f
(
z
)
−
0
z
−
a
=
lim
z
→
a
(
z
−
a
)
f
(
z
)
=
0
{\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}
따라서 h 는 D 에서 정칙이고 a 에 대한 테일러 급수 표현을 갖는다.
h
(
z
)
=
c
0
+
c
1
(
z
−
a
)
+
c
2
(
z
−
a
)
2
+
c
3
(
z
−
a
)
3
+
⋯
.
{\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}
c 0 = h (a ) = 0이고 c 1 = h' (a ) = 0이므로
h
(
z
)
=
c
2
(
z
−
a
)
2
+
c
3
(
z
−
a
)
3
+
⋯
.
{\displaystyle h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}
따라서, z ≠ a 일 때, 다음을 얻는다.
f
(
z
)
=
h
(
z
)
(
z
−
a
)
2
=
c
2
+
c
3
(
z
−
a
)
+
⋯
.
{\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}
그런데,
g
(
z
)
=
c
2
+
c
3
(
z
−
a
)
+
⋯
.
{\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}
는 D 에서 정칙이므로, f 의 확장이다.
다른 종류의 특이점 실변수 함수와 달리, 정칙함수는 충분히 그들의 특이점을 완전히 분류할 수 있을만큼 굳다. 정칙함수의 특이점은 실제로는 전혀 특이점이 아닌, 즉 없앨 수 있는 특이점이거나, 다음의 두 종류 중 하나이다.
리만의 정리에 비추어, 없앨 수 없는 특이점이 주어지면,
lim
z
→
a
(
z
−
a
)
m
+
1
f
(
z
)
=
0
{\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0}
m
{\displaystyle m}
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
극점
m
{\displaystyle m}
a
{\displaystyle a}
위수 라 한다. 그러므로 없앨 수 있는 특이점은 정확히 위수가 0인 극점 이다. 정칙함수는 이것의 또다른 극점을 균일하게 폭발한다.
만일
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
본질적 특이점 피카르의 대정리 는 그러한
f
{\displaystyle f}
U
∖
{
a
}
{\displaystyle U\setminus \{a\}}
같이 보기 외부 링크 
