연결합

위상수학에서, 연결합(連結合, 영어: connected sum)은 두 다양체 또는 매끄러운 다양체가 주어졌을 때, 각각에서 작은 공을 도려낸 뒤 그 경계를 따라 이어붙여 더 큰 (매끄러운) 다양체를 만드는 연산이다.

정의

연결합은 같은 차원의 두 (위상) 다양체 또는 두 매끄러운 다양체에 대하여 정의할 수 있다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$
• $n$차원 연결 (위상) 다양체 $M$, $N$
• 만약 $M$이 가향 다양체일 경우, $M$ 위의 방향 ($M$이 비가향 다양체일 경우 필요없음)
• 만약 $N$이 가향 다양체일 경우, $N$ 위의 방향 ($N$이 비가향 다양체일 경우 필요없음)

그렇다면, 다음과 같은 데이터를 임의로 고를 수 있다.

• $M$ 속의 점 $x\in M$
• $N$ 속의 점 $y\in N$
• $x$의 닫힌 근방을 이루는 작은 닫힌 공 $\iota _{M}\colon {\bar {\mathbb {D} }}^{n}\to M$, $\iota _{M}(\mathbb {D} ^{n})\ni x$. 만약 $M$이 유향 다양체라면, $\iota _{M}$이 방향을 보존하게 정의한다.
• $y$의 닫힌 근방을 이루는 작은 닫힌 공 $\iota _{N}\colon {\bar {\mathbb {D} }}^{n}\to N$, $\iota _{N}(\mathbb {D} ^{n})\ni y$. 만약 $M$이 유향 다양체라면, $\iota _{N}$이 방향을 보존하게 정의한다.
• 초구 $\mathbb {S} ^{n-1}=\partial {\bar {\mathbb {D} }}^{n}$ 위의, 방향을 바꾸는 연속 함수 $f\colon \mathbb {S} ^{n-1}\to \mathbb {S} ^{n-1}$. (이러한 함수의 호모토피류는 유일하다.)

  $f\colon \mathbb {S} ^{n-1}\to \mathbb {S} ^{n-1}$

  $f_{*}[\mathbb {S} ^{n-1}]=-[\mathbb {S} ^{n-1}]$

그렇다면, 다음과 같은 위상 공간을 정의할 수 있다.

$M\#N=(M\setminus \iota _{M}(\mathbb {D} ^{n}))\cup _{\iota _{M}\circ f\circ \iota _{N}^{-1}}(N\setminus \iota _{N}(\mathbb {D} ^{n}))$

여기서 $\cup _{\cdots }$는 붙임 공간이다. 즉, 두 다양체에서 작은 열린 공을 도려낸 뒤, 그 경계에 따라 (유향 다양체인 경우 방향을 바꾸는 방향으로) 붙인 것이다. 이를 $M$과 $N$의 연결합(영어: connected sum)이라고 한다. 연결합은 임의로 선택한 데이터 ($x$, $y$, $\iota _{M}$, $\iota _{N}$, $f$)에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 즉, 서로 다른 임의의 데이터를 선택하더라도 얻어지는 연결합은 서로 (비표준적으로) 위상 동형이다. 또한, 두 다양체의 연결합은 항상 다양체임을 보일 수 있다.

매끄러운 다양체의 연결합

만약 $M$과 $N$이 매끄러운 다양체일 경우, 연결합 $M\#N$ 위에는 추가로 자연스러운 매끄러움 구조가 존재하여, 매끄러운 다양체를 이룬다.

성질

다양체 또는 매끄러운 다양체의 연결합은 (위상 동형 아래) 가환 법칙을 만족시킨다.

$M\#N\cong N\#M$

2차원 이상의 다양체의 경우, 두 연결 비가향 또는 유향 다양체의 연결합은 연결 공간이다. (1차원에서, 두 연결 다양체의 연결합은 연결되지 않을 수 있다.) 이 경우, 연결 비가향 또는 유향 다양체의 연결합은 (위상 동형 아래) 결합 법칙을 만족시키며, 매끄러운 다양체의 경우도 마찬가지이다. 따라서, 2차원 이상에서 연결 비가향 또는 유향 다양체들은 가환 모노이드를 이룬다.

연결합 모노이드의 항등원은 초구 $\mathbb {S} ^{n}$이다. (초구의 경우, 방향을 뒤집는 자기 동형이 존재하므로 방향을 어떻게 잡든 상관없다.) 즉, 임의의 $n$차원 연결 비가향 또는 유향 다양체에 대하여, 다음이 성립한다.

$M\#\mathbb {S} ^{n}\cong M$

예

임의의 차원 $n>0$에서, 두 유클리드 공간의 연결합은 다음과 같은 기둥이다.

$\mathbb {R} ^{n}\#\mathbb {R} ^{n}\cong \mathbb {S} ^{n-1}\times \mathbb {R}$

보다 일반적으로, 임의의 차원 $n>0$에서, 구멍이 $p$개 뚫린 초구와 $q$개 뚫린 초구의 연결합은 구멍이 $p+q$개 뚫린 초구이다. (유클리드 공간은 구멍이 1개 뚫린 초구와 위상 동형이며, 기둥 $\mathbb {S} ^{n-1}\times \mathbb {R}$은 구멍이 2개 뚫린 초구와 위상 동형이다.)

$(\mathbb {S} ^{n}\setminus \{x_{1},\dots ,x_{p}\})\#(\mathbb {S} ^{n}\setminus \{y_{1},\dots ,y_{q}\})\cong \mathbb {S} ^{n}\setminus \{z_{1},\dots ,z_{p+q}\}$

1차원 다양체

1차원 (하우스도르프 파라콤팩트) 연결 다양체는 모두 원 $\mathbb {S} ^{1}$ 또는 실직선 $\mathbb {R}$와 위상 동형이다. 둘 다 유향 다양체이며, 둘 다 방향을 뒤집는 자기 동형을 갖는다. 이 경우, 가능한 연결합들은 다음과 같다.

$\mathbb {S} ^{1}\#\mathbb {R} \cong \mathbb {R}$

$\mathbb {R} \#\mathbb {R} \cong \mathbb {R} \sqcup \mathbb {R}$

$\mathbb {S} ^{1}\#\mathbb {S} ^{1}\cong \mathbb {S} ^{1}$

특히, $\mathbb {R} \#\mathbb {R}$의 경우 연결 공간이 아님을 알 수 있다. 이는 0차원 초구 $\mathbb {S} ^{0}$가 연결 공간이 아니기 때문에 가능하다.

2차원 다양체

두 개의 원환면의 연결합은 종수가 2인 리만 곡면이다.

2차원 콤팩트 연결 다양체의 경우, 모두 원환면 $\mathbb {T} ^{2}$과 사영 평면 $\mathbb {P} ^{2}$들의 연결합으로 나타낼 수 있다. (원환면은 가향 다양체이며, 방향읠 뒤집는 자기 동형을 갖는다. 사영 평면은 비가향 다양체이다.) 2차원 콤팩트 연결 유향 또는 비가향 다양체들의 연결합 가환 모노이드는 다음과 같은 표시를 갖는다.

$\langle \mathbb {P} ^{2},\mathbb {T} ^{2}|\mathbb {P} ^{2}\#\mathbb {P} ^{2}\#\mathbb {P} ^{2}=\mathbb {T} ^{2}\#\mathbb {P} ^{2}\rangle$

(비콤팩트 다양체의 분류는 더 복잡하다.)

3차원 다양체

3차원에서, 모든 (위상) 다양체는 유일한 매끄러움 구조를 가지므로, 다양체와 매끄러운 다양체를 구별하지 않아도 된다.

둘 다 3차원 초구가 아닌 두 개의 다양체의 연결합으로 나타낼 수 없는 3차원 연결 콤팩트 유향 다양체를 소다양체(素多樣體, 영어: prime manifold)라고 하자. 모든 3차원 콤팩트 유향 다양체는 유한 개의 소다양체들의 연결합으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 유일하다. 이를 3차원 다양체의 소분해(素分解, 영어: prime decomposition)라고 한다. 따라서, 3차원 콤팩트 연결 유향 다양체들의 연결합 모노이드는 자유 가환 모노이드이다.

4차원 이상

4차원 이상에서는 다양체 · 조각적 선형 다양체 · 매끄러운 다양체가 각각 다르다.

3차원 이하에서는 연결합 모노이드에는 역원이 존재하지 않는다. 즉, $M\#N\cong \mathbb {S} ^{n}$이라면 $M\cong N\cong \mathbb {S} ^{n}$이어야 한다 ($n\leq 3$). 그러나 이는 5차원 이상의 매끄러운 다양체에서 성립하지 않는다. 5차원 이상에서는 자명하지 않는 매끄러운 호모토피 초구(초구와 호모토피 동치인 매끄러운 다양체)가 존재하며, 매끄러운 다양체에 대하여 호모토피 초구인 것은 연결합 모노이드에서 역원을 갖는 것과 동치이다.

역사

연결합의 유일성 (즉, 서로 다른 점 및 구형 근방을 잡아도 연결합이 서로 미분 동형 · 위상 동형이라는 것)은 자명하지 않다. 매끄러운 다양체의 경우, 연결합의 유일성은 미셸 케르베르와 존 밀너가 1963년에 증명하였다. (위상) 다양체의 경우, 연결합의 유일성은 원환 정리(영어: annulus theorem)로부터 유도된다. 원환 정리의 정리는 복잡하며, 2차원에서는 러도 티보르(헝가리어: Radó Tibor)가 1924년에 증명하였고, 3차원에서는 에드윈 에바리스트 모이즈(영어: Edwin Evariste Moise)가 1952년에 증명하였고, 4차원에서는 프랭크 퀸(영어: Frank Quinn)이 1982년에 증명하였고, 5차원 이상에서는 로비언 크롬웰 커비(영어: Robion Cromwell Kirby)가 1969년에 증명하였다.

3차원 다양체의 소분해의 존재는 1929년에 헬무트 크네저(독일어: Hellmuth Kneser)가 증명하였고,^:256 그 유일성은 존 밀너가 증명하였다.

참고 문헌

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001. 

외부 링크

• “Connected sum”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Connected sum”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Knot sum”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Connected sum”. 《Manifold Atlas》 (영어). 
• “Connected sum of topological manifolds” (영어). Math Overflow. 
• “Monoid structure of oriented manifolds with connect sum” (영어). Math Overflow. 
• “Kneser Milnor decomposition in higher dimensions” (영어). Math Overflow.