방접원: 두 판 사이의 차이

입체적으로 역사 찾아보기

← 이전 편집 다음 편집 →

내용 삭제됨 내용 추가됨

시각위키텍스트

인라인

2020년 5월 19일 (화) 15:14 판

기하학에서, 방접원(傍接圓, 영어: excircle)은 삼각형의 한 변에 접하고 남은 두 변의 연장선에 접하는 원이다.

정의

삼각형 $ABC$ 의 변 $BC$ 에 접하고 남은 두 변 $AC$ , $AB$ 의 연장선에 접하는 원은 유일하게 존재한다. 이 원을 꼭짓점 $A$ 에 대한 삼각형 $ABC$ 의 방접원이라고 한다. 이 원의 중심 $J_{A}$ 는 $\angle A$ 의 내각의 이등분선과 $\angle B$ , $\angle C$ 의 외각의 이등분선의 교점이며, 이를 꼭짓점 $A$ 에 대한 삼각형 $ABC$ 의 방심(傍心, 영어: excenter)이라고 한다. 마찬가지로 꼭짓점 $B$ , $C$ 에 대한 방접원과 방심 $J_{B}$ , $J_{C}$ 를 정의할 수 있다.

방심 삼각형

삼각형 $ABC$ 의 세 방심 $J_{A}$ , $J_{B}$ , $J_{C}$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $J_{A}J_{B}J_{C}$ 를 원래 삼각형 $ABC$ 의 방심 삼각형(傍心三角形, 영어: excenter triangle)이라고 한다. 방심 삼각형의 외접원을 베번 원(Bevan圓, 영어: Bevan circle)이라고 하고, 이 원의 중심 $V$ 를 베번 점(Bevan點, 영어: Bevan point)이라고 한다.

성질

방심과 삼각형의 세 변의 직선 사이의 거리는 같다. 이는 이 방심을 중심으로 하는 방접원의 반지름이다.

모든 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다.^[1]^{:28, §3.2} 모든 삼각형의 외심은 내심과 베번 점의 중점이다.^[1]^{:29, §3.2} 모든 삼각형의 슈피커 중심은 수심과 베번 점의 중점이다.^[1]^{:27, §3.2} 삼각형의 한 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 중점, 대변 위 방접원의 접점, 내심은 공선점이다.^[1]^{:30, §3.3} 삼각형 $ABC$ 의 내심을 $I$ 라고 하고, 내접원과 두 변 $AC$ , $BC$ 사이의 접점을 각각 $I_{B}$ , $I_{C}$ 라고 하고, $AI$ 와 $I_{B}I_{C}$ 의 교점을 $P$ 라고 할 경우, $BP$ 는 $AI$ 의 수선이다.^[1]^{:31, §3.4}

모든 삼각형은 자기 자신의 방심 삼각형의 수심 삼각형, 또는 수심 삼각형의 방심 삼각형이다. 즉, 어떠한 삼각형으로부터 수심 삼각형을 만드는 연산과 방심 삼각형을 만드는 연산은 서로 역연산 관계이다.

포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 구점원은 이 삼각형의 세 방접원과 외접하고 내접원과 내접한다.

삼각형 $ABC$ 의 내심을 $I$ , 세 방심을 $J_{A}$ , $J_{B}$ , $J_{C}$ 라 하자. 그러면 방심 삼각형 $J_{A}J_{B}J_{C}$ 의 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발은 각각 점 $A$ , $B$ , $C$ 가 되며, 세 수선의 교점인 수심은 점 $I$ 가 된다. 즉, 네 점 $I$ , $J_{A}$ , $J_{B}$ , $J_{C}$ 는 수심계를 형성한다.

계량적 성질

삼각형 $ABC$ 의 변 $BC$ , $AC$ , $AB$ 의 길이를 $a$ , $b$ , $c$ 라고 하고, 반둘레를 $s$ 라고 하고, 넓이를 $S$ 라고 하자. 또한 내접원의 반지름을 $r$ 라고 하고, 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 에 대한 방접원의 반지름을 $r_{A}$ , $r_{B}$ , $r_{C}$ 라고 하자. 그렇다면

S=r_{A}(s-a)=r_{B}(s-b)=r_{C}(s-c)

이다.^[2]^{:13, §1.4, Exercise 5} 특히,

{\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}+{\frac {1}{r_{C}}}={\frac {1}{r}}

와^[3]^{:80, §2F, Theorem 2.34}

S={\sqrt {rr_{A}r_{B}r_{C}}}

가 성립한다.

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.
↑ Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.
↑ Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Excircles”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Excenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Exradius”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Excentral triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

[Honsberger-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.

[Coxeter-2] Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.

[Isaacs-3] Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.

[1]

[2]

[3]

@@ 24번째 줄: / 24번째 줄: @@
 }}</ref>{{rp|28, §3.2}} 모든 삼각형의 [[외심]]은 [[내심]]과 베번 점의 [[중점 (기하학)|중점]]이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|29, §3.2}} 모든 삼각형의 [[슈피커 중심]]은 수심과 베번 점의 중점이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|27, §3.2}} 삼각형의 한 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 중점, 대변 위 방접원의 접점, 내심은 [[공선점]]이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|30, §3.3}} 삼각형 <math>ABC</math>의 내심을 <math>I</math>라고 하고, 내접원과 두 변 <math>AC</math>, <math>BC</math> 사이의 접점을 각각 <math>I_B</math>, <math>I_C</math>라고 하고, <math>AI</math>와 <math>I_BI_C</math>의 교점을 <math>P</math>라고 할 경우, <math>BP</math>는 <math>AI</math>의 수선이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|31, §3.4}}
-모든 삼각형은 자기 자신의 방심 삼각형의 수족 삼각형이다.
+모든 삼각형은 자기 자신의 방심 삼각형의 [[수심 삼각형]], 또는 수심 삼각형의 방심 삼각형이다. 즉, 어떠한 삼각형으로부터 수심 삼각형을 만드는 연산과 방심 삼각형을 만드는 연산은 서로 역연산 관계이다.
 [[포이어바흐 정리]]에 따르면, 삼각형의 [[구점원]]은 이 삼각형의 세 방접원과 외접하고 내접원과 내접한다.
+삼각형 <math>ABC</math>의 내심을 <math>I</math>, 세 방심을 <math>J_A</math>, <math>J_B</math>, <math>J_C</math>라 하자. 그러면 방심 삼각형 <math>J_AJ_BJ_C</math>의 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발은 각각 점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>가 되며, 세 수선의 교점인 [[수심 (기하학)|수심]]은 점 <math>I</math>가 된다. 즉, 네 점 <math>I</math>, <math>J_A</math>, <math>J_B</math>, <math>J_C</math>는 [[수심계]]를 형성한다.
 === 계량적 성질 ===

v t e 삼각형의 중심
오심	내심 외심 방심 무게 중심 수심
다른 중요한 중심들	구점원의 중심 대칭 중점 제르곤 점 나겔 점 Mittenpunkt 슈피커 중심 포이어바흐 점 페르마 점 Isodynamic points Napoleon points Steiner point