국소 연결 공간: 두 판 사이의 차이
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[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''국소 연결 공간'''이라고 한다. |
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''국소 연결 공간'''이라고 한다. |
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* 임의의 점 <math>x\in X</math>의 임의의 근방 <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>x\in C\subseteq U</math>인 [[연결 공간|연결]] [[근방]] <math>C</math>가 존재한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용 |
* 임의의 점 <math>x\in X</math>의 임의의 근방 <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>x\in C\subseteq U</math>인 [[연결 공간|연결]] [[근방]] <math>C</math>가 존재한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용 |
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|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page |
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|이름=James R. |
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|성=Munkres |
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|저자링크=제임스 멍크레스 |
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|제목=Topology |
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|언어=en |
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|판=2 |
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|출판사=Prentice Hall |
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|연도=2000 |
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|isbn=978-0-13-181629-9 |
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|zbl=0951.54001 |
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|mr=0464128 |
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* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>의 모든 [[연결 성분]]은 <math>X</math>의 [[열린집합]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|161}} |
* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>의 모든 [[연결 성분]]은 <math>X</math>의 [[열린집합]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|161}} |
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2019년 12월 17일 (화) 15:56 판
일반위상수학에서, 국소 연결 공간(局所連結空間, 영어: locally connected space)은 모든 점이 연결 근방을 갖는 위상 공간이다.
정의
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 국소 연결 공간이라고 한다.
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 국소 경로 연결 공간(局所經路連結空間, 영어: locally path connected space)이라고 한다.
성질
다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
- CW 복합체 ⊊ 국소 축약 가능 공간 ⊊ 국소 경로 연결 공간 ⊊ 국소 연결 공간
국소 경로 연결 공간 속에서 다음이 성립한다.
국소 연결 공간의 몫공간은 국소 연결 공간이다.[1]:163
(경로) 연결성과 국소 (경로) 연결성은 다음과 같은 함의 관계를 가진다.
경로 연결 | 연결이지만 경로 연결이 아님 | 연결이 아님 | |
---|---|---|---|
국소 경로 연결 | 가능 | 불가능 | 가능 |
국소 연결이지만, 국소 경로 연결이 아님 | 가능 | 가능 | 가능 |
국소 연결이 아님 | 가능 | 가능 | 가능 |
예
(경로) 연결성과 국소 (경로) 연결성의 함의 관계에 대한 대표적인 예는 다음과 같다.
경로 연결 | 연결이지만 경로 연결이 아님 | |
---|---|---|
국소 경로 연결 | 유클리드 공간 | (불가능) |
국소 연결이지만 국소 경로 연결이 아님 |
비가산 집합의 여가산 위상(영어: cocountable topology)의 뿔 | 위의 사전식 순서 위상 |
국소 연결이 아님 | 빗 공간 | 위상수학자의 사인 곡선 |
(연결 공간이 아닌 국소 경로 연결 공간 · 국소 연결 국소 경로 비연결 공간 · 국소 비연결 공간의 예를 얻으려면, 위 표의 예들의 분리합집합을 취하면 된다. 예를 들어, 두 개의 위상수학자의 사인 곡선의 분리합집합은 국소 연결 공간이 아닌 비연결 공간이다.)
위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다. (0, 1)에서 이 점을 중심으로 하는 적당히 작은 ε-구를 잡으면, (0, 1)을 포함하는 연결 성분은 열린집합이 아니기 때문이다.
빗 공간(영어: comb space)은 의 다음과 같은 부분 공간이다.
이는 경로 연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다.
유리수의 부분 공간 위상은 국소 연결 공간도, 연결 공간도 아니다.
참고 문헌
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
외부 링크
- “Locally connected space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Locally path-connected space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Locally connected”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Locally pathwise-connected”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Connected im Kleinen”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Locally path-connected space”. 《nLab》 (영어).
- “Locally connected space”. 《Topospaces》 (영어).
- “Locally path-connected space”. 《Topospaces》 (영어).
- “Connected not implies locally connected”. 《Topospaces》 (영어).
- “Locally connected and locally path-connected spaces”. 《Mathematics and Such》. 2013년 3월 10일.
- “Path-connected and locally connected space that is not locally path-connected” (영어). StackExchange.