헤세 행렬: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
편집 요약 없음 |
|||
19번째 줄: | 19번째 줄: | ||
:<math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>\Delta f:= f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) -f\left(\mathbf{x}_0\right) \approx J\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}+\frac{1}{2}\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> (여기서 <math>\mathbf{h}^T</math>는 <math>\mathbf{h}</math>가 열벡터라고 할때 그 [[전치행렬]]인 행벡터를 의미한다.) |
:<math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>\Delta f:= f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) -f\left(\mathbf{x}_0\right) \approx J\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}+\frac{1}{2}\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> (여기서 <math>\mathbf{h}^T</math>는 <math>\mathbf{h}</math>가 열벡터라고 할때 그 [[전치행렬]]인 행벡터를 의미한다.) |
||
만약 <math>\mathbf{x}_0</math>가 [[임계점 (수학)|임계점]]이라면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이므로 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>\Delta f \approx \frac{1}{2}\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세 행렬이 되는 셈이다. |
만약 <math>\mathbf{x}_0</math>가 [[임계점 (수학)|임계점]]이라면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이므로 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>\Delta f \approx \frac{1}{2}\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세 행렬이 되는 셈이다. |
||
==이계도함수 판정== |
|||
함수 <math>f</math>의 이계도함수가 [[연속함수|연속]]일 때 헤세 행렬은 대칭행렬이므로 [[스펙트럼 정리]]에 따라 헤세 행렬을 다음과 같이 직교대각화할 수 있다. |
|||
:<math>Q(\mathbf{h}) = \mathbf{h^{T}H}(f)\mathbf{h=h^{T}Q\Lambda Q^{T}h=(hQ^{T})^{T}\Lambda Q^{T}h}</math> |
|||
<math>\mathbf{u=Q^{T}h}</math>로 두면 다음과 같이 나타낼 수 있다. |
|||
:<math>Q(\mathbf{u})=\lambda_{1}u_{1}^{2}+\lambda_{2}u_{2}^{2}+...+\lambda_{n}u_{n}^{2} </math> |
|||
헤세 행렬의 고윳값의 부호에 따라 이차형식의 정부호성을 판별한다. |
|||
* 헤세 행렬의 고윳값이 모두 양수일 경우, 이차형식은 양의 정부호이고, 임계점은 극솟값이다. |
|||
* 헤세 행렬의 고윳값이 모두 음수일 경우, 이차형식은 음의 정부호이고, 임계점은 극댓값이다. |
|||
* 헤세 행렬의 고윳값에 양수와 음수가 섞여 있는 경우, 이차형식은 부정부호(indefinite)이고, 임계점은 [[안장점]]이 된다. |
|||
== 외부 링크 == |
== 외부 링크 == |
2019년 11월 7일 (목) 01:19 판
관련 문서 둘러보기 |
미적분학 |
---|
미적분학에서, 헤세 행렬(Hesse行列, 영어: Hessian matrix)은 어떤 함수의 이계도함수를 행렬로 표현한 것이다. 헤세 행렬은 독일의 수학자 루트비히 오토 헤세의 이름을 따서 명명되었다. 헤세 행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.
정의
실함수 이 주어졌을 때, 헤세 행렬은 다음과 같이 주어진다.
헤세 행렬은, 함수의 기울기 벡터 에 대한 야코비 행렬로도 설명이 가능하다.
함수 의 이계도함수가 연속이라면 혼합 편미분은 같다. 그 때 이 행렬은 대칭행렬이다.
테일러 급수와 헤세 행렬
함수 의 인 테일러 급수는 헤세 행렬을 이용해서 나타낼 수 있다.
- 에 대해 (여기서 는 가 열벡터라고 할때 그 전치행렬인 행벡터를 의미한다.)
만약 가 임계점이라면 이므로 에 대해 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세 행렬이 되는 셈이다.
이계도함수 판정
함수 의 이계도함수가 연속일 때 헤세 행렬은 대칭행렬이므로 스펙트럼 정리에 따라 헤세 행렬을 다음과 같이 직교대각화할 수 있다.
로 두면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
헤세 행렬의 고윳값의 부호에 따라 이차형식의 정부호성을 판별한다.
- 헤세 행렬의 고윳값이 모두 양수일 경우, 이차형식은 양의 정부호이고, 임계점은 극솟값이다.
- 헤세 행렬의 고윳값이 모두 음수일 경우, 이차형식은 음의 정부호이고, 임계점은 극댓값이다.
- 헤세 행렬의 고윳값에 양수와 음수가 섞여 있는 경우, 이차형식은 부정부호(indefinite)이고, 임계점은 안장점이 된다.
외부 링크
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Hessian”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.