순환군: 두 판 사이의 차이
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* '''(⇐)''' <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이라면, <math>n=n'\operatorname{ord}g</math>인 <math>n'\in\mathbb Z</math>가 존재하므로, <math>g^n=(g^{\operatorname{ord}g})^{n'}=1^{n'}=1</math>이다. |
* '''(⇐)''' <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이라면, <math>n=n'\operatorname{ord}g</math>인 <math>n'\in\mathbb Z</math>가 존재하므로, <math>g^n=(g^{\operatorname{ord}g})^{n'}=1^{n'}=1</math>이다. |
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* '''(⇒)''' <math>g^n=1</math>이라면, <math>n</math>과 <math>\operatorname{ord}g</math>의 나머지 있는 나눗셈을 <math>n=q\operatorname{ord}g+r</math>라고 하면, <math>g^r=g^ng^{-\operatorname{ord}g}=1</math>이므로, 차수의 정의에 따라 <math>r=0</math>이다. 즉, <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이다. |
* '''(⇒)''' <math>g^n=1</math>이라면, <math>n</math>과 <math>\operatorname{ord}g</math>의 나머지 있는 나눗셈을 <math>n=q\operatorname{ord}g+r</math>라고 하면, <math>g^r=g^ng^{-\operatorname{ord}g}=1</math>이므로, 차수의 정의에 따라 <math>r=0</math>이다. 즉, <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이다. |
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* 임의의 <math>g\in\mathbb G</math>에 대하여, <math>g^n=1</math> |
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* <math>\exp G\mid n</math> |
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* '''(⇐)''' <math>\exp G\mid n</math>이라면, <math>n=n'\exp G</math>인 <math>n'\in\mathbb Z</math>가 존재하므로, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>g^n=(g^{\exp G})^{n'}=1^{n'}=1</math>이다. |
* '''(⇐)''' <math>\exp G\mid n</math>이라면, <math>n=n'\exp G</math>인 <math>n'\in\mathbb Z</math>가 존재하므로, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>g^n=(g^{\exp G})^{n'}=1^{n'}=1</math>이다. |
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* '''(⇒)''' 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g^n=1</math>이라면, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이므로, 지수의 정의에 따라 <math>\exp G\mid n</math>이다. |
* '''(⇒)''' 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g^n=1</math>이라면, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>\operatorname{ord}g\mid n</math>이므로, 지수의 정의에 따라 <math>\exp G\mid n</math>이다. |
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군의 유한 차수 원소 <math>g\in G</math> 및 [[정규 부분군]] <math>N\triangleleft G</math>에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다. |
군의 유한 차수 원소 <math>g\in G</math> 및 [[정규 부분군]] <math>N\triangleleft G</math>에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다. |
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:<math>\operatorname{ord}(gN)\mid\operatorname{ord}g</math> |
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:<math>(gN)^{\operatorname{ord}g}=g^{\operatorname{ord}g}N=N</math> |
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군의 유한 차수 원소 <math>g\in G</math> 및 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다. |
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:<math>\operatorname{ord}g^n=\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}</math> |
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다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다. |
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* <math>\operatorname{ord}g^n\mid\frac{\operatorname{ord}g}{\gcd\{\operatorname{ord}g,n\}}</math> |
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그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다. |
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:<math>\operatorname{ord}(gh)=\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math> |
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다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다. |
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* <math>\operatorname{ord}(gh)\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h</math> |
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* <math>\operatorname{ord}g=m</math> |
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[[베주 항등식]]에 따라, 다음 조건을 만족시키는 <math>u,v\in\mathbb Z</math>가 존재한다. |
[[베주 항등식]]에 따라, 다음 조건을 만족시키는 <math>u,v\in\mathbb Z</math>가 존재한다. |
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:<math>1=mu+nv</math> |
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즉, 다음이 성립한다. |
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:<math>\max_{g\in G}\operatorname{ord}g=\exp G</math> |
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최대 차수 원소 <math>g\in G</math>를 취하자. 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여, |
최대 차수 원소 <math>g\in G</math>를 취하자. 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여, |
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:<math>\operatorname{ord}h\nmid\operatorname{ord}g</math> |
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* <math>G</math>는 순환 [[단순군]]이다. |
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* <math>G</math>는 [[아벨 군|아벨]] 단순군이다. |
* <math>G</math>는 [[아벨 군|아벨]] 단순군이다. |
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* '''소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군:''' <math>|G|</math>가 소수라면, [[라그랑주 정리 (군론)|라그랑주 정리]]에 따라, 그 부분군은 <math>\{1_G\},G</math>밖에 없으므로, <math>G</math>는 단순군이다. <math>1_G\ne g\in G</math>를 취하자. 그렇다면, <math>|\langle g\rangle|=p</math>이므로, <math>\langle g\rangle=G</math>이다. 즉, <math>G</math>는 순환군이다. |
* '''소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군:''' <math>|G|</math>가 소수라면, [[라그랑주 정리 (군론)|라그랑주 정리]]에 따라, 그 부분군은 <math>\{1_G\},G</math>밖에 없으므로, <math>G</math>는 단순군이다. <math>1_G\ne g\in G</math>를 취하자. 그렇다면, <math>|\langle g\rangle|=p</math>이므로, <math>\langle g\rangle=G</math>이다. 즉, <math>G</math>는 순환군이다. |
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* '''순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군:''' 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다. |
* '''순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군:''' 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다. |
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* 임의의, <math>|G|</math>의 양의 약수 <math>d</math>에 대하여, <math>\{H\le G\colon|H|=d\}\le1</math>이다. |
* 임의의, <math>|G|</math>의 양의 약수 <math>d</math>에 대하여, <math>\{H\le G\colon|H|=d\}\le1</math>이다. |
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* 임의의 <math>m\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>|\{x\in G\colon x^m=1\}|\le m</math>이다. |
* 임의의 <math>m\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>|\{x\in G\colon x^m=1\}|\le m</math>이다. |
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* '''(1) ⇒ (2):''' 순환군 <math>\langle g\rangle</math>의, 크기 <math>d</math>의 부분군은 <math>\langle g^\frac{\operatorname{ord}g}d\rangle</math>가 유일하다. |
* '''(1) ⇒ (2):''' 순환군 <math>\langle g\rangle</math>의, 크기 <math>d</math>의 부분군은 <math>\langle g^\frac{\operatorname{ord}g}d\rangle</math>가 유일하다. |
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* '''(1) ⇐ (2):''' 임의의 <math>0<d\mid|G|</math>에 대하여, <math>|\{g\in G\colon\operatorname{ord}g=d\}|=\phi(d)>0</math>임을 증명하자. (여기서 <math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]]이다.) 그렇다면, 특히 <math>\operatorname{ord}g=|G|</math>인 <math>g\in G</math>가 존재하므로, <math>G</math>는 순환군이다. |
* '''(1) ⇐ (2):''' 임의의 <math>0<d\mid|G|</math>에 대하여, <math>|\{g\in G\colon\operatorname{ord}g=d\}|=\phi(d)>0</math>임을 증명하자. (여기서 <math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]]이다.) 그렇다면, 특히 <math>\operatorname{ord}g=|G|</math>인 <math>g\in G</math>가 존재하므로, <math>G</math>는 순환군이다. |
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* <math>Z_m\oplus Z_n\cong Z_{mn}</math> |
* <math>Z_m\oplus Z_n\cong Z_{mn}</math> |
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* <math>\gcd\{m,n\}=1</math> |
* <math>\gcd\{m,n\}=1</math> |
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* '''(⇐)''' <math>\operatorname{ord}(1\oplus1)=\operatorname{ord}(1\oplus0)\operatorname{ord}(0\oplus1)=mn</math> |
* '''(⇐)''' <math>\operatorname{ord}(1\oplus1)=\operatorname{ord}(1\oplus0)\operatorname{ord}(0\oplus1)=mn</math> |
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* '''(⇒)''' 만약 <math>\gcd\{m,n\}\ne1</math>이라면, <math>|\{a\oplus b\in Z_m\oplus Z_n\colon(a\oplus b)^\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}=1\}|=|Z_m\oplus Z_n|=mn>\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}</math>이므로, <math>Z_m\oplus Z_n\not\cong Z_{mn}</math>이다. |
* '''(⇒)''' 만약 <math>\gcd\{m,n\}\ne1</math>이라면, <math>|\{a\oplus b\in Z_m\oplus Z_n\colon(a\oplus b)^\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}=1\}|=|Z_m\oplus Z_n|=mn>\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}</math>이므로, <math>Z_m\oplus Z_n\not\cong Z_{mn}</math>이다. |
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{{본문|아벨 군}} |
{{본문|아벨 군}} |
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유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. <math>G</math>가 아벨 유한 [[p-군]], <math>a\in G</math>가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, <math>G=\langle a\rangle\times B</math>인 <math>B\le G</math>가 존재한다. |
유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. <math>G</math>가 아벨 유한 [[p-군]], <math>a\in G</math>가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, <math>G=\langle a\rangle\times B</math>인 <math>B\le G</math>가 존재한다. |
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{{증명 |
{{증명}} |
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[[귀류법]]을 사용하여, <math>G</math>가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, <math>|G|\ge2</math>이며, <math>G\ne\langle a\rangle</math>이므로, 최소 차수 원소 <math>b\in G\setminus\langle a\rangle</math>를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다. |
[[귀류법]]을 사용하여, <math>G</math>가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, <math>|G|\ge2</math>이며, <math>G\ne\langle a\rangle</math>이므로, 최소 차수 원소 <math>b\in G\setminus\langle a\rangle</math>를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다. |
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* <math>\operatorname{ord}b=p</math> |
* <math>\operatorname{ord}b=p</math> |
2019년 11월 6일 (수) 13:16 판
군론에서, 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 하나의 원소에 의하여 생성되는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정 원소의 거듭제곱이다. 가법군의 경우 모든 원소는 어떤 고정 원소의 정수배이다.
정의
군의 원소 가 생성하는 순환군 은 다음과 같다.
차수
군 의 차수(次數, 영어: order) 또는 위수(位數) 는 집합의 크기를 뜻한다.
군의 원소 의 차수 는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
지수
군 의 지수(指數, 영어: exponent) 는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
분류
순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.
성질
약수 관계
군의 유한 차수 원소 및 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
증명:
- (⇐) 이라면, 인 가 존재하므로, 이다.
- (⇒) 이라면, 과 의 나머지 있는 나눗셈을 라고 하면, 이므로, 차수의 정의에 따라 이다. 즉, 이다.
지수가 유한한 군 및 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 임의의 에 대하여,
증명:
- (⇐) 이라면, 인 가 존재하므로, 임의의 에 대하여, 이다.
- (⇒) 임의의 에 대하여 이라면, 임의의 에 대하여 이므로, 지수의 정의에 따라 이다.
유한군 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
군의 유한 차수 원소 및 정규 부분군 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
증명:
항등식
군의 유한 차수 원소 및 정수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
증명:
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
-
- 증명:
-
- 증명: 이므로, 이므로, 이므로,
군의 원소 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
증명:
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
-
- 증명:
-
- 증명: 이므로, 이므로, 이다. 비슷하게, 이다. 따라서, 이다.
반대로, 군의 원소 의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.
그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 가 존재한다.
증명:
유한 아벨 군 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다.
- 임의의 에 대하여,
즉, 다음이 성립한다.
증명:
최대 차수 원소 를 취하자. 임의의 에 대하여,
라고 가정하자. 그렇다면,
를 만족시키는 소인수 가 존재한다. 이 경우,
이므로,
이며, 이는 모순이다.
순환군
모든 순환군은 유한 생성 아벨 군이다.
군 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
증명:
- 소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군: 가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은 밖에 없으므로, 는 단순군이다. 를 취하자. 그렇다면, 이므로, 이다. 즉, 는 순환군이다.
- 순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군: 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다.
- 아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군: 가 소수가 아니라고 가정하자. 가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, 는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. 가 순환군이 아닌 경우, 임의의 를 취하자. 그렇다면, 이며, 이므로, 는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.
순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로, 의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
순환군의 몫군 역시 순환군이다.
- 는 순환군이다.
- 임의의, 의 양의 약수 에 대하여, 이다.
- 임의의 에 대하여, 이다.
증명:
순환군 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
증명:
- (⇐)
- (⇒) 만약 이라면, 이므로, 이다.
코시 정리에 따르면, 임의의 소인수 에 대하여, 인 가 존재한다.
응용
유한 아벨 군의 분해
유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. 가 아벨 유한 p-군, 가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, 인 가 존재한다.
증명:
귀류법을 사용하여, 가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, 이며, 이므로, 최소 차수 원소 를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.
-
- 증명: 그렇지 않다면, ()이며, 이므로, 이다. ()이라고 하자. 그렇다면, 이므로, 이다. 따라서, 이며, 인데, 이는 의 선택과 모순이다.
-
- 증명: ()라고 하자. 그렇다면, 인 가 존재하며, 이다. 이는 모순이다.
- 은 최대 차수 원소이다.
- 증명: 우선 이다. 라고 가정하면, 이므로, 이다. 이는 모순이다. 따라서 이며, 은 최대 차수 원소이다.
- 인 가 존재한다.
- 증명:
-
- 증명: 우선, 이므로, 이다. 또한, 이므로, 이며, 이다.
외부 링크
- “Cyclic group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Exponent of a group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Cyclic group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Group order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Cyclic group”. 《nLab》 (영어).
- “Order of a group”. 《nLab》 (영어).
- “Exponent of a group”. 《nLab》 (영어).
- “Cyclic group”. 《Groupprops》 (영어).
- “Order of a group”. 《Groupprops》 (영어).
- “Exponent of a group”. 《Groupprops》 (영어).
- “Cyclic group”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Order (of a group)”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Exponent”. 《PlanetMath》 (영어).