합곱

대수적 위상수학에서, 합곱(合곱, 영어: cup product 컵 프로덕트^[*])은 두 코호몰로지류를 더 큰 코호몰로지류로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다.

정의

쌍대사슬의 합곱

위상 공간 $X$ 및 가환환 $R$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 합곱은 다음과 같은 $R$-선형 변환이다.

$\smile \colon C^{p}(X;R)\times C^{q}(X;R)\to C^{p+q}(X;R)$

이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 $p$차 특이 쌍대사슬 $c\in C^{p}(X;R)$ 및 $q$차 특이 쌍대사슬 $d\in C^{q}(X;R)$ 및 $(p+q)$차 특이 단체 $\sigma \colon \triangle ^{p+q}\to X$에 대하여,

$c\smile d\colon \sigma \mapsto c(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot d(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})$

여기서

$\iota _{S}\colon \triangle ^{|S|-1}\hookrightarrow \triangle ^{p+q}$

($S\subset \{0,1,...,p+q\}$)는 $|S|-1$차원 표준 단체를 꼭짓점들이 $\{0,1,\dots ,p+q\}$인 $p+q$차원 표준 단체의, $S$에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 함수이다.

코호몰로지류의 합곱

쌍대사슬의 합곱은 다음과 같이 쌍대경계 $\delta$와 호환된다.

$\delta (c\smile d)=\delta c\smile d+(-1)^{\deg c}(c\smile \delta d)$

따라서, 쌍대사슬의 합곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 합곱

$\smile \colon H^{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\to H^{p+q}(X;R)$

이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 $H^{\bullet }(X;R)$는 등급환을 이룬다.

텐서곱

두 위상 공간 $X,Y$ 및 가환환 $R$ 위의 가군 $M$, $N$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬에 대한 다음과 같은 사상이 존재한다.

$\otimes _{R}\colon C^{p}(X;M)\times C^{q}(Y;N)\to C^{p+q}(X\times Y;M\otimes _{R}N)$

$c\otimes _{R}d\colon \sigma \mapsto c\left(\operatorname {proj} _{X}^{X\times Y}\circ \sigma \circ \iota _{0,1,...p}\right)\otimes _{R}d\left(\operatorname {proj} _{Y}^{X\times Y}\circ \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}\right)\in M\otimes _{R}N$

여기서

$\operatorname {proj} _{X}^{X\times Y}\colon X\times Y\to X$

$\operatorname {proj} _{Y}^{X\times Y}\colon X\times Y\to Y$

는 곱공간의 사영 사상이다. 이 역시 쌍대경계와 호환되어, 코호몰로지류의 텐서곱

$\otimes _{R}\colon \operatorname {H} ^{p}(X;M)\times \operatorname {H} ^{q}(Y;N)\to \operatorname {H} ^{p+q}(X\times Y;M\otimes _{R}N)$

을 정의할 수 있다. 만약 $M=N=R$라면, $R\otimes _{R}=R$이므로 이는

$\otimes _{R}\colon \operatorname {H} ^{p}(X;R)\times \operatorname {H} ^{q}(Y;R)\to \operatorname {H} ^{p+q}(X\times Y;R)$

이다. 이 사상은 퀴네트 정리에 등장하는 사상과 같다.

성질

코호몰로지류의 합곱은 다음과 같은 등급 교환 법칙을 따른다.

$\alpha \smile \beta =(-1)^{\deg \alpha \deg \beta }(\beta \smile \alpha )$

합곱은 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 연속 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 코호몰로지로 인한 당김

$f^{*}\colon H^{\bullet }(Y)\to H^{\bullet }(X)$

을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 $\alpha ,\beta \in H^{\bullet }(Y)$에 대하여,

$f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),$

즉, $f^{*}$는 등급환의 준동형을 이룬다.

합곱과 텐서곱의 관계

위상 공간 $X$ 및 가환환 $R$ 위의 가군 $M$, $N$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대각 사상

$\operatorname {diag} _{X}\colon X\to X^{2}$

이 존재한다. 그렇다면, 텐서곱의 대각 사상의 당김

$\operatorname {diag} _{X}^{*}(-\otimes _{R}-)\colon \operatorname {H} ^{p}(X;M)\times \operatorname {H} ^{q}(X;N)\to \operatorname {H} ^{p+q}(X;M\otimes _{R}N)$

이 존재한다. 만약 $M=N=R$라면, 이는 합곱 $\smile$과 일치한다.

역사

1935년 9월 4일~10일 동안 모스크바에서 열린 제1차 세계 위상 수학 학회(영어: International Topological Conference)에서 제임스 워델 알렉산더와 안드레이 콜모고로프는 독자적으로 코호몰로지류의 개념 및 코호몰로지류의 곱셈을 도입하였다. 이후 에두아르트 체흐와 해슬러 휘트니는 코호몰로지류의 합곱을 구체적으로 정의하였다. 1944년에 사무엘 에일렌베르크는 그 정의를 일반화하였다. 합곱의 기호 $\smile$는 휘트니가 고안하였다.

같이 보기

• 특이 호몰로지
• 호몰로지
• 교곱
• 매시 곱

참고 문헌

• 조용승 (2010년 9월). 《대수적 위상수학》. 경문사. ISBN 978-89-6105-365-5. 
• Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
• Bredon, Glen E. (1993). 《Topology and geometry》 (영어). Springer. ISBN 0-387-97926-3. 
• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cup product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cup product”. 《nLab》 (영어). 
• “Eilenberg-Zilber map”. 《nLab》 (영어). 
• “Alexander-Whitney map”. 《nLab》 (영어).