순환군

군론에서, 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 하나의 원소에 의하여 생성되는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정 원소의 거듭제곱이다. 가법군의 경우 모든 원소는 어떤 고정 원소의 정수배이다.

정의

군의 원소 $g\in G$가 생성하는 순환군 $\langle g\rangle$은 다음과 같다.

$\langle g\rangle =\{g^{n}\colon n\in \mathbb {Z} \}=\{\dots ,g^{-2},g^{-1},1,g,g^{2},\dots \}\leq G$

차수

군 $G$의 차수(次數, 영어: order) 또는 위수(位數) $|G|$는 집합의 크기를 뜻한다.

군의 원소 $g\in G$의 차수 $\operatorname {ord} g$는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

$\operatorname {ord} g=|\langle g\rangle |={\begin{cases}\infty &\not \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\\\min\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\}&\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\end{cases}}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}$

지수

군 $G$의 지수(指數, 영어: exponent) $\exp G$는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

$\exp G={\begin{cases}\infty &\not \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\forall g\in G\colon g^{n}=1\\\operatorname {lcm} _{g\in G}\operatorname {ord} g=\min\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \forall g\in G\colon g^{n}=1\}&\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\forall g\in G\colon g^{n}=1\end{cases}}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}$

분류

순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.

$\langle g\rangle \cong {\begin{cases}Z&\operatorname {ord} g=\infty \\Z_{\operatorname {ord} g}&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}$

성질

약수 관계

군의 유한 차수 원소 $g\in G$ 및 정수 $n\in \mathbb {Z}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $g^{n}=1$
• $\operatorname {ord} g\mid n$

증명:

• (⇐) $\operatorname {ord} g\mid n$이라면, $n=n'\operatorname {ord} g$인 $n'\in \mathbb {Z}$가 존재하므로, $g^{n}=(g^{\operatorname {ord} g})^{n'}=1^{n'}=1$이다.
• (⇒) $g^{n}=1$이라면, $n$과 $\operatorname {ord} g$의 나머지 있는 나눗셈을 $n=q\operatorname {ord} g+r$라고 하면, $g^{r}=g^{n}g^{-\operatorname {ord} g}=1$이므로, 차수의 정의에 따라 $r=0$이다. 즉, $\operatorname {ord} g\mid n$이다.

지수가 유한한 군 $G$ 및 정수 $n\in \mathbb {Z}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 $g\in \mathbb {G}$에 대하여, $g^{n}=1$
• $\exp G\mid n$

증명:

• (⇐) $\exp G\mid n$이라면, $n=n'\exp G$인 $n'\in \mathbb {Z}$가 존재하므로, 임의의 $g\in G$에 대하여, $g^{n}=(g^{\exp G})^{n'}=1^{n'}=1$이다.
• (⇒) 임의의 $g\in G$에 대하여 $g^{n}=1$이라면, 임의의 $g\in G$에 대하여 $\operatorname {ord} g\mid n$이므로, 지수의 정의에 따라 $\exp G\mid n$이다.

유한군 $G$에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

$\operatorname {ord} g\mid \exp G\mid |G|$

군의 유한 차수 원소 $g\in G$ 및 정규 부분군 $N\triangleleft G$에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

$\operatorname {ord} (gN)\mid \operatorname {ord} g$

증명:

$(gN)^{\operatorname {ord} g}=g^{\operatorname {ord} g}N=N$

항등식

군의 유한 차수 원소 $g\in G$ 및 정수 $n\in \mathbb {Z}$에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

$\operatorname {ord} g^{n}={\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}$

증명:

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

• $\operatorname {ord} g^{n}\mid {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}$
  • 증명: $(g^{n})^{\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=(g^{\operatorname {ord} g})^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1$
• ${\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}$
  • 증명: $1=(g^{n})^{\operatorname {ord} g^{n}}=g^{n\operatorname {ord} g^{n}}$이므로, $\operatorname {ord} g\mid n\operatorname {ord} g^{n}$이므로, ${\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid {\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\operatorname {ord} g^{n}$이므로, ${\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}$

군의 원소 $g,h\in G$가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• $gh=hg$
• $\gcd\{\operatorname {ord} g,\operatorname {ord} h\}=1$

그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

$\operatorname {ord} (gh)=\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h$

증명:

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

• $\operatorname {ord} (gh)\mid \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h$
  • 증명: $(gh)^{\operatorname {ord} (gh)}=(g^{\operatorname {ord} g})^{\operatorname {ord} h}(h^{\operatorname {ord} h})^{\operatorname {ord} g}=1^{\operatorname {ord} h}1^{\operatorname {ord} g}=1$
• $\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)$
  • 증명: $1=(gh)^{\operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}=h^{\operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}$이므로, $\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)$이므로, $\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)$이다. 비슷하게, $\operatorname {ord} g\mid \operatorname {ord} h\operatorname {ord} (gh)$이다. 따라서, $\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)$이다.

반대로, 군의 원소 $x\in G$의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.

$\operatorname {ord} x=mn\qquad (\gcd\{m,n\}=1)$

그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 $g,h\in G$가 존재한다.

• $x=gh=hg$
• $\operatorname {ord} g=m$
• $\operatorname {ord} h=n$

증명:

베주 항등식에 따라, 다음 조건을 만족시키는 $u,v\in \mathbb {Z}$가 존재한다.

$1=mu+nv$

조건을 만족시키는 $g,h\in G$를 다음과 같이 취할 수 있다.

$g=x^{nv}$

$g=x^{mu}$

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

• $\operatorname {ord} g\mid m$, $\operatorname {ord} h\mid n$
  • 증명: $g^{m}=(x^{nv})^{m}=(x^{mn})^{v}=1^{v}=1$
• $m\mid \operatorname {ord} g$, $n\mid \operatorname {ord} h$
  • 증명: $mn=\operatorname {ord} (gh)=\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h$

유한 아벨 군 $G$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $g\in G$가 존재한다.

• 임의의 $h\in G$에 대하여, $\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} g$

즉, 다음이 성립한다.

$\max _{g\in G}\operatorname {ord} g=\exp G$

증명:

최대 차수 원소 $g\in G$를 취하자. 임의의 $h\in G$에 대하여,

$\operatorname {ord} h\nmid \operatorname {ord} g$

라고 가정하자. 그렇다면,

$v_{p}(\operatorname {ord} g)<v_{p}(\operatorname {ord} h)$

를 만족시키는 소인수 $p\mid \operatorname {ord} h$가 존재한다. 이 경우,

$\operatorname {ord} g^{p^{v_{p}(\operatorname {ord} g)}}={\frac {\operatorname {ord} g}{p^{v_{p}(\operatorname {ord} g)}}}$

$\operatorname {ord} h^{\frac {\operatorname {ord} h}{p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)}}}=p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)}$

이므로,

$\operatorname {ord} \left(g^{p^{v_{p}(\operatorname {ord} g)}}h^{\frac {\operatorname {ord} h}{p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)}}}\right)=p^{v_{p}(\operatorname {ord} h)-v_{p}(\operatorname {ord} g)}\operatorname {ord} g>\operatorname {ord} g$

이며, 이는 모순이다.

순환군

모든 순환군은 유한 생성 아벨 군이다.

군 $G$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $|G|$는 소수이다.
• $G$는 순환 단순군이다.
• $G$는 아벨 단순군이다.

증명:

• 소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군: $|G|$가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은 $\{1_{G}\},G$밖에 없으므로, $G$는 단순군이다. $1_{G}\neq g\in G$를 취하자. 그렇다면, $|\langle g\rangle |=p$이므로, $\langle g\rangle =G$이다. 즉, $G$는 순환군이다.
• 순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군: 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다.
• 아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군: $|G|$가 소수가 아니라고 가정하자. $G$가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, $G$는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. $G$가 순환군이 아닌 경우, 임의의 $1_{G}\neq g\in G$를 취하자. 그렇다면, $\langle g\rangle \triangleleft G$이며, $\langle g\rangle \neq 1,G$이므로, $G$는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.

순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로, $\langle g\rangle$의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

$\langle g^{n}\rangle \qquad {\begin{cases}n\in \mathbb {Z} &\operatorname {ord} g=\infty \\n\mid \operatorname {ord} g&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}$

순환군의 몫군 역시 순환군이다.

유한군 $G$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $G$는 순환군이다.
• 임의의, $|G|$의 양의 약수 $d$에 대하여, $\{H\leq G\colon |H|=d\}\leq 1$이다.
• 임의의 $m\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여, $|\{x\in G\colon x^{m}=1\}|\leq m$이다.

증명:

• (1) ⇒ (2): 순환군 $\langle g\rangle$의, 크기 $d$의 부분군은 $\langle g^{\frac {\operatorname {ord} g}{d}}\rangle$가 유일하다.
• (1) ⇐ (2): 임의의 $0<d\mid |G|$에 대하여, $|\{g\in G\colon \operatorname {ord} g=d\}|=\phi (d)>0$임을 증명하자. (여기서 $\phi$는 오일러 피 함수이다.) 그렇다면, 특히 $\operatorname {ord} g=|G|$인 $g\in G$가 존재하므로, $G$는 순환군이다.
  • 증명: $\operatorname {ord} g=\operatorname {ord} h=d$인 $g,h\in G$를 취하자. 그렇다면, (2)에 의하여 $\langle g\rangle =\langle h\rangle$이므로, $h=g^{n}$인 $n\in \mathbb {Z}$가 존재한다. 차수 공식을 사용하면 $\gcd\{n,d\}=1$를 얻는다. 즉, 구하려는 수는 0이거나 $\phi (d)$이다. 또한, $n=\sum _{d\mid |G|}\phi (d)$이므로, 구하려는 수는 $\phi (d)$이다.
• (1) ⇔ (3):: 쉴로브 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

순환군 $Z_{m},Z_{n}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $Z_{m}\oplus Z_{n}\cong Z_{mn}$
• $\gcd\{m,n\}=1$

증명:

• (⇐) $\operatorname {ord} (1\oplus 1)=\operatorname {ord} (1\oplus 0)\operatorname {ord} (0\oplus 1)=mn$
• (⇒) 만약 $\gcd\{m,n\}\neq 1$이라면, $|\{a\oplus b\in Z_{m}\oplus Z_{n}\colon (a\oplus b)^{\frac {mn}{\gcd\{m,n\}}}=1\}|=|Z_{m}\oplus Z_{n}|=mn>{\frac {mn}{\gcd\{m,n\}}}$이므로, $Z_{m}\oplus Z_{n}\not \cong Z_{mn}$이다.

코시 정리에 따르면, 임의의 소인수 $p\mid |G|$에 대하여, $\operatorname {ord} g_{p}=p$인 $g_{p}\in G$가 존재한다.

응용

유한 아벨 군의 분해

 이 부분의 본문은 아벨 군입니다.

유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. $G$가 아벨 유한 p-군, $a\in G$가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, $G=\langle a\rangle \times B$인 $B\leq G$가 존재한다.

증명:

귀류법을 사용하여, $G$가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, $|G|\geq 2$이며, $G\neq \langle a\rangle$이므로, 최소 차수 원소 $b\in G\setminus \langle a\rangle$를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.

• $\operatorname {ord} b=p$
  • 증명: 그렇지 않다면, $\operatorname {ord} b=p^{e}$ ($e\geq 2$)이며, $\operatorname {ord} b^{p}=p^{e-1}$이므로, $b^{p}\in \langle a\rangle$이다. $b^{p}=a^{n}$ ($n\in \mathbb {Z}$)이라고 하자. 그렇다면, ${\frac {\operatorname {ord} a}{\gcd\{\operatorname {ord} a,n\}}}=\operatorname {ord} b^{p}<\operatorname {ord} b\leq \operatorname {ord} a$이므로, $p\mid n$이다. 따라서, $(ba^{-{\frac {n}{p}}})^{p}=1_{G}$이며, $ba^{-{\frac {n}{p}}}\in G\setminus \langle a\rangle$인데, 이는 $b$의 선택과 모순이다.
• $\langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1$
  • 증명: $1_{G}\neq a^{m}=b^{n}\in \langle a\rangle \cap \langle b\rangle$ ($0\leq n<p$)라고 하자. 그렇다면, $1=nu+pv$인 $u,v\in \mathbb {Z}$가 존재하며, $b=b^{nu}b^{pv}=a^{mu}\in \langle a\rangle$이다. 이는 모순이다.
• $a\langle b\rangle \in G/\langle b\rangle$은 최대 차수 원소이다.
  • 증명: 우선 $\operatorname {ord} (a\langle b\rangle )\mid \operatorname {ord} a$이다. $\operatorname {ord} (a\langle b\rangle )<\operatorname {ord} a$라고 가정하면, $(a\langle b\rangle )^{\frac {\operatorname {ord} a}{p}}=1$이므로, $a^{\frac {\operatorname {ord} a}{p}}\in \langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1$이다. 이는 모순이다. 따라서 $\operatorname {ord} (a\langle b\rangle )=\operatorname {ord} a$이며, $a\langle b\rangle \in G/\langle b\rangle$은 최대 차수 원소이다.
• $G/\langle b\rangle =\langle a\langle b\rangle \rangle \times (B/\langle b\rangle )$인 $\langle b\rangle \subseteq B\leq G/\langle b\rangle$가 존재한다.
  • 증명: $|G/\langle b\rangle |=|G|/p<|G|$
• $G=\langle a\rangle \times B$
  • 증명: 우선, $G/\langle b\rangle =\langle a\langle b\rangle \rangle \times (B/\langle b\rangle )=(\langle a\rangle /\langle b\rangle )\times (B/\langle b\rangle )=(\langle a\rangle B)/\langle b\rangle$이므로, $G=\langle a\rangle B$이다. 또한, $(\langle a\rangle \cap B)/\langle b\rangle \subseteq (\langle a\rangle /\langle b\rangle )\cap (B/\langle b\rangle )=\{\langle b\rangle \}$이므로, $\langle a\rangle \cap B\subseteq \langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1$이며, $G=\langle a\rangle \times B$이다.

외부 링크

• “Cyclic group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Exponent of a group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cyclic group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cyclic group”. 《nLab》 (영어). 
• “Order of a group”. 《nLab》 (영어). 
• “Exponent of a group”. 《nLab》 (영어). 
• “Cyclic group”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Order of a group”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Exponent of a group”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Cyclic group”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Order (of a group)”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Exponent”. 《PlanetMath》 (영어).