[[복소해석학]]에서, '''코시 적분 정리'''(-積分定理, {{llang|en|Cauchy's integral theorem}})는 [[단일 연결 공간|단일 연결]] [[열린집합]] 위의 [[정칙 함수]]의 [[경로 적분]]이 경로와 무관하다는 정리이다.
[[복소해석학]]에서, '''코시 적분 정리'''(-積分定理, {{llang|en|Cauchy's integral theorem}})는 [[단일 연결 공간|단일 연결]] [[영역 (수학)|영역]] 위의 [[정칙 함수]]의 [[경로 적분]]이 경로와 무관하다는 정리이다.
== 정의 ==
== 정의 ==
[[유계 집합|유계]] [[연결공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb C</math>의 [[경계 (위상수학)|경계]] <math>\partial D</math>가 유한 개의 조각마다 <math>\mathcal C^1</math> 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, [[연속 함수]] <math>f\colon\operatorname{cl}D\to\mathbb C</math>가 <math>D</math>에서 [[정칙 함수]]라고 하자. '''코시 적분 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="tanxj">{{서적 인용
[[유계 집합|유계]] [[영역 (수학)|영역]] <math>D\subseteq\mathbb C</math>의 [[경계 (위상수학)|경계]] <math>\partial D</math>가 유한 개의 조각마다 <math>\mathcal C^1</math> 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, [[연속 함수]] <math>f\colon\operatorname{cl}D\to\mathbb C</math>가 <math>D</math>에서 [[정칙 함수]]라고 하자. '''코시 적분 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="tanxj">{{서적 인용
|저자1=谭小江
|저자1=谭小江
|저자2=伍胜健
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:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz=0</math>
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이에 따라, [[단일 연결 공간|단일 연결]] 열린집합 <math>D\subseteq\mathbb C</math> 위의 정칙 함수 <math>f\colon D\to\mathbb C</math>의, 임의의 두 점 <math>z',z''\in D</math> 사이의 [[경로 적분]]
이에 따라, [[단일 연결 공간|단일 연결]] 영역 <math>D\subseteq\mathbb C</math> 위의 정칙 함수 <math>f\colon D\to\mathbb C</math>의, 임의의 두 점 <math>z',z''\in D</math> 사이의 [[경로 적분]]
:<math>\int_{z'}^{z''}f(z)\mathrm dz</math>
:<math>\int_{z'}^{z''}f(z)\mathrm dz</math>
는 경로
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이므로, 이는 모순이다.
이므로, 이는 모순이다.
이제, 일반적인 경우를 보이자. <math>D</math>는 유한 개의 단일 연결 열린집합의 합집합으로 분할되므로, 편의상 <math>D</math>가 단일 연결 영역이라고 가정하자.
이제, 일반적인 경우를 보이자. <math>D</math>는 유한 개의 단일 연결 영역의 합집합으로 분할되므로, 편의상 <math>D</math>가 단일 연결 영역이라고 가정하자.
임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>f</math>는 [[균등 연속 함수]]이므로, 다음을 만족시키는 다각형 영역 <math>\tilde D\subseteq D</math>가 존재한다.
임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>f</math>는 [[균등 연속 함수]]이므로, 다음을 만족시키는 다각형 영역 <math>\tilde D\subseteq D</math>가 존재한다.
2019년 4월 30일 (화) 17:09 판
복소해석학에서, 코시 적분 정리(-積分定理, 영어: Cauchy's integral theorem)는 단일 연결영역 위의 정칙 함수의 경로 적분이 경로와 무관하다는 정리이다.
정의
유계영역의 경계가 유한 개의 조각마다 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수가 에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 정리에 따르면, 다음이 성립한다.[1]:84