순환군: 두 판 사이의 차이
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** 증명: <math>1=(gh)^{\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)}=h^{\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)}</math>이므로, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}g\operatorname{ord}(gh)</math>이므로, <math>\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)</math>이다. 비슷하게, <math>\operatorname{ord}g\mid\operatorname{ord}h\operatorname{ord}(gh)</math>이다. 따라서, <math>\operatorname{ord}g\operatorname{ord}h\mid\operatorname{ord}(gh)</math>이다. |
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반대로, 군의 원소 <math>x\in G</math>의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자. |
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:<math>\operatorname{ord}x=mn\qquad(\gcd\{m,n\}=1)</math> |
:<math>\operatorname{ord}x=mn\qquad(\gcd\{m,n\}=1)</math> |
2019년 4월 2일 (화) 09:01 판
군론에서, 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 하나의 원소에 의하여 생성되는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정 원소의 거듭제곱이다. 가법군의 경우 모든 원소는 어떤 고정 원소의 정수배이다.
정의
군의 원소 가 생성하는 순환군 은 다음과 같다.
차수
군 의 차수(次數, 영어: order) 또는 위수(位數) 는 집합의 크기를 뜻한다.
군의 원소 의 차수 는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
지수
군 의 지수(指數, 영어: exponent) 는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
분류
순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.
성질
약수 관계
군의 유한 차수 원소 및 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
증명:
- (⇐) 이라면, 인 가 존재하므로, 이다.
- (⇒) 이라면, 과 의 나머지 있는 나눗셈을 라고 하면, 이므로, 차수의 정의에 따라 이다. 즉, 이다.
지수가 유한한 군 및 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 임의의 에 대하여,
증명:
- (⇐) 이라면, 인 가 존재하므로, 임의의 에 대하여, 이다.
- (⇒) 임의의 에 대하여 이라면, 임의의 에 대하여 이므로, 지수의 정의에 따라 이다.
유한군 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
군의 유한 차수 원소 및 정규 부분군 에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
증명:
항등식
군의 유한 차수 원소 및 정수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
증명:
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
-
- 증명:
-
- 증명: 이므로, 이므로, 이므로,
군의 원소 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
-
- 증명:
-
- 증명: 이므로, 이므로, 이다. 비슷하게, 이다. 따라서, 이다.
증명:
증명: {\displaystyle (gh)^{\operatorname {ord} (gh)}=(g^{\operatorname {ord} g})^{\operatorname {ord} h}(h^{\operatorname {ord} h})^{\operatorname {ord} g}=1^{\operatorname {ord} h}1^{\operatorname {ord} g}=1} {\displaystyle \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)} 증명: {\displaystyle 1=(gh)^{\operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}=h^{\operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}}
이므로,
{\displaystyle \operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} g\operatorname {ord} (gh)}
이므로,
{\displaystyle \operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)}
이다. 비슷하게,
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid \operatorname {ord} h\operatorname {ord} (gh)}
이다. 따라서,
{\displaystyle \operatorname {ord} g\operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} (gh)}
이다.
반대로, 군의 원소 의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.
그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 가 존재한다.
증명:
유한 아벨 군 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다.
- 임의의 에 대하여,
즉, 다음이 성립한다.
증명:
최대 차수 원소 를 취하자. 임의의 에 대하여,
라고 가정하자. 그렇다면,
를 만족시키는 소인수 가 존재한다. 이 경우,
이므로,
이며, 이는 모순이다.
순환군
모든 순환군은 유한 생성 아벨 군이다.
군 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
증명:
- 소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군: 가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은 밖에 없으므로, 는 단순군이다. 를 취하자. 그렇다면, 이므로, 이다. 즉, 는 순환군이다.
- 순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군: 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다.
- 아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군: 가 소수가 아니라고 가정하자. 가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로, 는 단순군이 아니며, 이는 모순이다. 가 순환군이 아닌 경우, 임의의 를 취하자. 그렇다면, 이며, 이므로, 는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.
순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로, 의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
순환군의 몫군 역시 순환군이다.
- 는 순환군이다.
- 임의의, 의 양의 약수 에 대하여, 이다.
- 임의의 에 대하여, 이다.
증명:
순환군 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
증명:
- (⇐)
- (⇒) 만약 이라면, 이므로, 이다.
코시 정리에 따르면, 임의의 소인수 에 대하여, 인 가 존재한다.
응용
유한 아벨 군의 분해
유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. 가 아벨 유한 p-군, 가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면, 인 가 존재한다.
증명:
귀류법을 사용하여, 가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, 이며, 이므로, 최소 차수 원소 를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.
-
- 증명: 그렇지 않다면, ()이며, 이므로, 이다. ()이라고 하자. 그렇다면, 이므로, 이다. 따라서, 이며, 인데, 이는 의 선택과 모순이다.
-
- 증명: ()라고 하자. 그렇다면, 인 가 존재하며, 이다. 이는 모순이다.
- 은 최대 차수 원소이다.
- 증명: 우선 이다. 라고 가정하면, 이므로, 이다. 이는 모순이다. 따라서 이며, 은 최대 차수 원소이다.
- 인 가 존재한다.
- 증명:
-
- 증명: 우선, 이므로, 이다. 또한, 이므로, 이며, 이다.
외부 링크
- “Cyclic group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Exponent of a group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Cyclic group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Group order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Cyclic group”. 《nLab》 (영어).
- “Order of a group”. 《nLab》 (영어).
- “Exponent of a group”. 《nLab》 (영어).
- “Cyclic group”. 《Groupprops》 (영어).
- “Order of a group”. 《Groupprops》 (영어).
- “Exponent of a group”. 《Groupprops》 (영어).
- “Cyclic group”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Order (of a group)”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Exponent”. 《PlanetMath》 (영어).