닫힌 몰입: 두 판 사이의 차이

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== 성질 ==
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=== 함의 관계 ===
=== 함의 관계 ===
모든 닫힌 몰입은 [[유한 사상]]이며, [[분리 사상]]이며, [[준콤팩트 사상]]이다 (즉, [[연속 함수]]로서, [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[열린집합]]의 원상이 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[열린집합]]이다).
모든 닫힌 몰입은 [[유한 사상]]이다.


=== 연산에 대한 닫힘 ===
=== 연산에 대한 닫힘 ===
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두 닫힌 몰입의 [[함수의 합성|합성]]은 닫힌 몰입이다. 닫힌 몰입의 밑 전환은 닫힌 몰입이다.
두 닫힌 몰입의 [[함수의 합성|합성]]은 닫힌 몰입이다. 닫힌 몰입의 밑 전환은 닫힌 몰입이다.

=== 스킴 상 ===
[[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>f</math>의 '''스킴 상'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[스킴 (수학)|스킴]] <math>Z</math>
* 닫힌 몰입 <math>i\colon Z \to Y</math>
* 스킴 사상 <math>g \colon X\to Z</math>. 또한, <math>f = i \circ g</math>라고 하자.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 스킴 <math>Z'</math> 및 닫힌 몰입 <math>i'\colon Z'\to Y</math> 및 스킴 사상 <math>g'\colon X\to Z'</math>에 대하여, 만약 <math>f = i' \circ g'</math>라면, <math>i = i' \circ h</math>인 스킴 사상 <math>h \colon Z\to Z'</math>이 존재한다.


Lemma 28.6.1. Let f:X→Y be a morphism of schemes. There exists a closed subscheme Z⊂Y such that f factors through Z and such that for any other closed subscheme Z′⊂Y such that f factors through Z′ we have Z⊂Z′.



== 예 ==
== 예 ==

2019년 1월 28일 (월) 04:54 판

스킴 이론에서, 닫힌 몰입(-沒入, 영어: closed immersion)은 스킴 사상 가운데, 정의역공역닫힌집합으로 대응시키며, 정의역의 정칙 함수가 국소적으로 공역에 확장될 수 있게 하는 것이다.

정의

스킴 , 사이의 사상 에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족시키는 스킴 사상을 닫힌 몰입이라고 한다.[1]:85

  • 위상 동형이다.
  • 닫힌집합이다.
  • 전사 사상이다. (이는 모든 점 에서 줄기 사상 전사 함수인 것과 동치이다.)

스킴 닫힌 부분 스킴(영어: closed subscheme)은 위의 스킴의 범주 에서, 닫힌 몰입들의 동치류이다.[1]:85 즉, 두 닫힌 몰입 , 에서, 인 동형 이 존재한다면 같은 부분 스킴으로 여긴다.

성질

함의 관계

모든 닫힌 몰입은 유한 사상이며, 분리 사상이며, 준콤팩트 사상이다 (즉, 연속 함수로서, 콤팩트 열린집합의 원상이 콤팩트 열린집합이다).

연산에 대한 닫힘

임의의 세 스킴 , , 스킴 사상

가 주어졌다고 하자. 만약 가 닫힌 몰입이며, 분리 사상이라면, 역시 닫힌 몰입이다.

두 닫힌 몰입의 합성은 닫힌 몰입이다. 닫힌 몰입의 밑 전환은 닫힌 몰입이다.

스킴 상

스킴 사상 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 스킴 상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 스킴
  • 닫힌 몰입
  • 스킴 사상 . 또한, 라고 하자.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • 임의의 스킴 및 닫힌 몰입 및 스킴 사상 에 대하여, 만약 라면, 인 스킴 사상 이 존재한다.


Lemma 28.6.1. Let f:X→Y be a morphism of schemes. There exists a closed subscheme Z⊂Y such that f factors through Z and such that for any other closed subscheme Z′⊂Y such that f factors through Z′ we have Z⊂Z′.


임의의 가환환 및 그 아이디얼 에 대하여, 몫환 준동형 에 대응하는, 아핀 스킴 사이의 스킴 사상 는 닫힌 몰입이다.

참고 문헌

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

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