군 코호몰로지

군론에서, 군 코호몰로지(群cohomology, 영어: group cohomology)와 군 호몰로지(群homology, 영어: group homology)는 군 위에 정의되는 코호몰로지 · 호몰로지 이론이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 군 $G$. 이로부터 군환 $\mathbb {Z} [G]$를 정의할 수 있다.
• $\mathbb {Z} [G]$-왼쪽 가군 $_{\mathbb {Z} [G]}M$

임의의 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, $G$의 $M$계수 $n$차 군 호몰로지 $\operatorname {H} _{n}(G;M)$ 및 $G$의 $M$계수 $n$차 군 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{n}(G;M)$는 각각 아벨 군이다. 이들은 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.

• 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자 및 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수 있다.
• 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 특별한 Ext 함자 및 Tor 함자로서 정의될 수 있다.
• 군 (코)호몰로지는 구체적인 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로서 정의될 수 있다.

유도 함자를 통한 정의

군 코호몰로지는 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자로, 군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의될 수 있다.

구체적으로, 군 $G$가 주어졌다고 하자. $\mathbb {Z} [G]$의 왼쪽 가군들의 범주 $_{\mathbb {Z} [G]}{\text{Mod}}$는 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이다.

다음과 같은 함자를 정의하자.

$(-)^{G}\colon {}_{\mathbb {Z} [G]}{\text{Mod}}\to \operatorname {Ab}$

$(-)^{G}\colon M\mapsto M^{G}=\bigcap _{g\in G}\ker _{M}(1-g)=\{m\in M\colon \forall g\in M\colon m=gm\}$

즉, 이는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시킨다.

$(-)^{G}$는 왼쪽 완전 함자이다. 그 $n$번째 오른쪽 유도 함자를 $G$의 $n$차 군 코호몰로지라고 한다.

$\operatorname {H} ^{n}(G;-)=\operatorname {R} ^{n}(-)^{G}$

마찬가지로, 다음과 같은 함자를 정의하자.

$(-)_{G}\colon {}_{\mathbb {Z} [G]}{\text{Mod}}\to \operatorname {Ab}$

$(-)_{G}\colon M\mapsto {\frac {M}{\operatorname {D} (M)}}$

여기서

$\operatorname {D} (M)=\sum _{g\in G}(1-g)M\subseteq M$

이다. 즉, $M_{G}$는 $M$의 쌍대 불변량(영어: coinvariant)으로 구성된다.

$(-)_{G}$는 오른쪽 완전 함자이다. 그 $n$번째 왼쪽 유도 함자를 $G$의 $n$차 군 호몰로지라고 한다.

$\operatorname {H} _{n}(G;-)=\operatorname {L} ^{n}(-)_{G}$

Ext와 Tor를 통한 정의

군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다.

구체적으로, 군 $G$ 및 $\mathbb {Z} [G]$-왼쪽 가군 $_{\mathbb {Z} [G]}M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\mathbb {Z}$를 자명한 $\mathbb {Z} [G]$-왼쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 $g\in G$ 및 $n\in \mathbb {Z}$에 대하여 $g\cdot n=n$이다.) 그렇다면, $\mathbb {Z} [G]$-왼쪽 가군의 범주 $_{\mathbb {Z} [G]}\operatorname {Mod}$에서 Ext 함자를 취할 수 있다. $G$의 $M$ 계수의 군 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다.

$\operatorname {H} ^{n}(G;M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M)$

마찬가지로, $\mathbb {Z}$를 자명한 $\mathbb {Z} [G]$-오른쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 $g\in G$ 및 $n\in \mathbb {Z}$에 대하여 $n\cdot g=n$이다.) 그렇다면, 오른쪽 가군 $\mathbb {Z} _{\mathbb {Z} [G]}$와 왼쪽 가군 $_{\mathbb {Z} [G]}M$ 사이의 Tor 함자를 취할 수 있다. $G$의 $M$ 계수의 군 호몰로지는 다음과 같은 Tor 함자이다.

$\operatorname {H} _{n}(G;M)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)$

군 코호몰로지의 구체적 정의

$G$가 군이고 $M$이 $\mathbb {Z} [G]$-가군이라고 하자. 양의 정수 $n$에 대하여, $n$차 공사슬(共사슬, 영어: cochain)을 $G^{n}\to M$ 함수로 정의하고, $n$차 공사슬의 집합을 $C^{n}(G,M)$으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. (여기서 $G^{n}$은 군의 직접곱 $G\times G\times \dotsb \times G$이다.)

공경계 준동형(共境界準同形, 영어: coboundary homomorphism) $d^{n}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)$을 다음과 같이 정의하자.

$\left(d^{n}\varphi \right)(g_{0},\dots ,g_{n})=g_{0}\cdot \varphi (g_{1},\dots ,g_{n})$

${}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi (g_{0},\dots ,g_{i-2},g_{i-1}g_{i},g_{i+1},\dots ,g_{n})$

${}+(-1)^{n+1}\varphi (g_{0},\dots ,g_{n-1})$

이렇게 정의하면

$d^{n+1}\circ d^{n}=0$

임을 알 수 있다. 따라서 $C^{n}$은 공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라

$\operatorname {H} ^{n}(G;M)={\frac {\ker d^{n}}{\operatorname {im} d^{n-1}}}$

과 같이 코호몰로지 군 $\operatorname {H} ^{n}(G;M)$을 정의할 수 있다. 이를 $M$계수를 가진 $G$의 $n$차 군 코호몰로지라고 한다.

군 호몰로지의 구체적 정의

$G$가 군이고 $M$이 $\mathbb {Z} [G]$-왼쪽 가군이라고 하자.

양의 정수 $n$에 대하여, $n$차 사슬(영어: cochain)의 집합은 $C_{n}(G;M)=\mathbb {Z} [G^{\times n}]\otimes _{\mathbb {Z} }M$ 이다.

그 사이에 다음과 같은 경계 준동형(境界準同形, 영어: boundary homomorphism)을 정의하자.

$\partial \colon (g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{n},m)\mapsto (g_{2},\dotsc ,g_{n},m)+\sum _{i=1}^{n-1}(-)^{i}(g_{1},\dotsc ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},g_{i+2},\dotsc ,g_{n},m)+(-)^{n}(g_{1},\dotsc ,g_{n-1},g_{n}m)$

그렇다면, 다음과 같은 사슬 복합체를 얻는다.

$\dotsb {\xrightarrow {\partial }}C_{2}(G;M){\xrightarrow {\partial }}C_{1}(G;M){\xrightarrow {\partial }}C_{0}(G;M)\to 0$

(이는 막대 복합체 $\operatorname {Bar} _{n}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],M)$과 같다.) 그 호몰로지 군

$\operatorname {H} _{n}(G;M)={\frac {\ker \partial _{n}}{\operatorname {im} \partial _{n+1}}}$

을 $M$계수를 가진 $G$의 $n$차 군 호몰로지라고 한다.

구체적 정의의 유도

구체적 정의는 Ext · Tor를 사용한 정의로부터 다음과 같이 유도된다.

우선, 아벨 군의 아벨 범주 $\operatorname {Ab} =\operatorname {Mod} _{\mathbb {Z} }$에서, $\mathbb {Z}$-결합 대수 (즉, 환) $\mathbb {Z} [G]$의 왼쪽 가군 $_{\mathbb {Z} [G]}\mathbb {Z}$ 및 오른쪽 가군 $\mathbb {Z} [G]_{\mathbb {Z} [G]}$를 생각하자. 그렇다면, 물론

$\mathbb {Z} [G]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z}$

이다. 이를 사용하여, 다음과 같은 막대 복합체를 생각하자.

$\operatorname {Bar} _{n}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )=\overbrace {\mathbb {Z} [G]\otimes _{\mathbb {Z} }\dotsb \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [G]} ^{n+1}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} [\overbrace {G\times \dotsb \times G} ^{n}]$

그렇다면,

$\dotsb {\xrightarrow {\partial }}\mathbb {Z} [G\times G]{\xrightarrow {\partial }}\mathbb {Z} [G]\twoheadrightarrow \mathbb {Z}$

는 $\mathbb {Z}$의 분해를 이룬다.

막대 복합체의 모든 성분들은 $\mathbb {Z} [G]$-사영 가군이므로, 막대 복합체 $\operatorname {Bar} (\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )$는 $\mathbb {Z}$의 사영 분해를 정의한다. 이에 따라서, Ext 함자 $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M)$은 다음과 같은 공사슬 복합체의 코호몰로지로 얻어진다.

$0\to \hom _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G],M)\to \hom _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G\times G],M)\to \dotsb$

그런데 $\mathbb {Z} [G^{\times (n+1)}]$은 $\mathbb {Z} [G]$-자유 가군이므로, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

$\hom _{\operatorname {Set} }(G^{\times n},M)\to \hom _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G^{\times (n+1)}],M)$

여기서 $\hom _{\operatorname {Set} }(G^{\times n},M)$은 모든 함수 $G^{n}\to M$의 집합이며, 이는 군 코호몰로지를 정의하는 $n$차 공사슬의 집합과 같다.

마찬가지로, Tor 함자 $\operatorname {Tor} _{\bullet }^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)$은 $\mathbb {Z} _{\mathbb {Z} [G]}$의 사영 분해 $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} [G])$를 사용하면 다음과 같은 사슬 복합체

$\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],M)$

의 호몰로지로 계산된다.

$\dotsb \to \mathbb {Z} [G^{\times 3}]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} [G^{\times 2}]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} [G]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\cong M$

그런데

$\mathbb {Z} [G^{\times (n+1)}]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\cong \mathbb {Z} [G^{\times n}]\otimes _{\mathbb {Z} }M$

이다. 이는 군 호몰로지를 정의하는 $n$차 사슬의 집합과 같다.

성질

낮은 차수의 군 (코)호몰로지

군 코호몰로지의 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

$C^{0}(G;M)=M$

$C^{1}(G;M)=\hom _{\operatorname {Set} }(G,M)$

$C^{2}(G;M)=\hom _{\operatorname {Set} }(G\times G,M)$

$\mathrm {d} ^{0}(m)\colon g\mapsto gm-m\qquad (m\in M,\;g\in G)$

$\mathrm {d} ^{1}(\phi )\colon (g,h)\mapsto g\phi (h)-\phi (gh)+\phi (g)\qquad (g,h\in G,\;\phi \in \hom _{\operatorname {Set} }(G,M))$

마찬가지로, 군 호몰로지의 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

$C_{0}(G;M)=M$

$C_{1}(G;M)=\mathbb {Z} [G]\otimes _{\mathbb {Z} }M$

$C_{2}(G;M)=\mathbb {Z} [G\times G]\otimes _{\mathbb {Z} }$

$\partial _{0}\colon C_{1}(G;M)\to C_{0}(G;M)$

$\partial _{1}\colon (g,m)\mapsto m-gm$

$\partial _{2}\colon (g,h,m)\mapsto (h,m)-(gh,m)+(g,hm)$

이에 따라, 낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 다음과 같이 해석된다. (마지막 열은 $G$의 $M$ 위의 작용이 자명할 경우에 대한 특별한 해석이다.)

공사슬 종류	기호	해석	자명한 작용일 경우의 해석
0차 완전 공사슬	$\operatorname {im} \mathrm {d} _{-1}$	$0\in M$
0차 닫힌 사슬	$\ker \partial _{0}$	임의의 원소 $m\in M$
0차 닫힌 공사슬	$\ker \mathrm {d} _{0}$	불변량: $m\in M$ 가운데, 임의의 $g\in G$에 대하여 $gm=m$인 것	임의의 원소 $m\in M$
0차 완전 사슬	$\operatorname {im} \partial _{1}$
1차 닫힌 공사슬	$\ker \mathrm {d} _{1}$	교차 준동형(영어: crossed homomorphism): 함수 $\phi \colon G\to M$ 가운데, $\phi (gh)=\phi (g)+g\phi (h)$인 것	군 준동형 $(G,\cdot )\to (M,+)$
1차 완전 공사슬	$\operatorname {im} \mathrm {d} _{0}$	주 교차 준동형(영어: principal crossed homomorphism, $m\in M$에 대하여, $g\mapsto (g-1)m$ 꼴의 교차 준동형)들의 선형 결합	상수 함수 $g\mapsto 0$
1차 닫힌 사슬	$\ker \partial _{1}$	선형 결합 $\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}(g_{i},m)$ 가운데, $\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}g_{i}m_{i}=\sum _{i}\alpha _{i}m_{i}$인 것	선형 결합 $\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}(g_{i},m)$
1차 완전 사슬	$\operatorname {im} \partial _{2}$	$(h,m)-(gh,m)+(g,hm)$ 꼴의 선형 결합들의 합 ($g,h\in G,\;m\in M$)	$\operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }\{g+h-gh\colon g,h\in G\}\otimes _{\mathbb {Z} }M$의 원소

특히, 만약 $G$의 $M$ 위의 작용이 자명할 때, 다음이 성립한다.

$\operatorname {H} ^{0}(G;M)=M$

$\operatorname {H} _{0}(G;M)=0$

$\operatorname {H} ^{1}(G;M)=\hom _{\operatorname {Grp} }(G,M)$

2차 군 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{1}(G;M)$는 군 $(G,\cdot )$의 아벨 군 $(M,+)$에 대한 확대들을 분류한다.

위상 코호몰로지와의 관계

만약 $G$의 $M$ 위의 작용이 자명하다면, 군 호몰로지와 군 코호몰로지는 각각 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류 공간 $\mathrm {B} G$의 특이 호몰로지 및 특이 코호몰로지와 동형이다.

$\operatorname {H} _{k}(G;M)=\operatorname {H} _{k}^{\text{sing}}(\mathrm {B} G;M)$

$\operatorname {H} ^{k}(G;M)=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{k}(\mathrm {B} G;M)$

증명:

$G$의 분류 공간은 단체 집합 $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Set} }(1,G,1)$이다. 그 정수 계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체

$\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )$

로 주어지며, $M$계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체

$\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )\otimes _{\mathbb {Z} }M$

으로 주어진다. 그런데 이는 군 호몰로지를 정의하는 사슬 복합체와 같다.

마찬가지로, 분류 공간 $\operatorname {B} G$의 $M$계수 단체 코호몰로지는 공사슬 복합체

$\hom _{\mathbb {Z} }\left(\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} ),M\right)$,

로 주어진다. 그런데 이는 $G$의 $M$계수 군 코호몰로지와 같다.

보다 일반적으로, 만약 $G$의 작용이 자명하지 않다면, $M$은 $\mathrm {B} G$ 위의 일종의 층 ${\underline {M}}$을 정의하며, 이 층의 층 (코)호몰로지는 $G$의 $M$계수 군 (코)호몰로지와 같다.

$\operatorname {H} ^{\bullet }(G;M)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;{\underline {M}})$

$\operatorname {H} _{\bullet }(G;M)\cong \operatorname {H} _{\bullet }(\mathrm {B} G;{\underline {M}})$

예

자유군

$k$개의 원소로 생성되는 자유군 $F_{k}$을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 $M$에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

$\operatorname {H} ^{n}(F_{k};M)=\operatorname {H} _{n}(F_{k};M)={\begin{cases}M&n=0\\M^{\oplus k}&n=1\\0&n>1\end{cases}}$

순환군

$k$차 순환군 $\operatorname {Cyc} (k)$을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 $M$에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

$\operatorname {H} ^{n}(\operatorname {Cyc} (k);M)=\operatorname {H} _{n}(\operatorname {Cyc} (k);M)={\begin{cases}M&n=0\\(\ker n)\subseteq M&2\nmid n\\M/nM&2\mid n>0\\\end{cases}}$

여기서 $\ker n=\{m\in M\colon nm=0\}$은 $M$의 $n$-꼬임 부분군이다.

이는 순환군의 분류 공간인 $\mathbb {S} ^{\infty }/\operatorname {Cyc} (k)$의 특이 호몰로지와 같다. 특히, $k=2$일 경우 이는 무한 차원 실수 사영 공간 $\operatorname {RP} ^{\infty }$의 특이 호몰로지이다.

자유 아벨 군

$k$차 자유 아벨 군 $\mathbb {Z} ^{\oplus k}$을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 $M$에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

$\operatorname {H} ^{n}(\mathbb {Z} ^{\oplus k};M)=\operatorname {H} _{n}(\mathbb {Z} ^{\oplus k};M)=M^{\oplus {\binom {k}{n}}}$

여기서 $\textstyle {\binom {k}{n}}$은 이항 계수이다. 이는 자유 아벨 군의 분류 공간인 원환면 $\mathbb {T} ^{k}$의 특이 호몰로지와 같다.

참고 문헌

• Isaksen, Daniel C. (2002년 11월). “A cohomological viewpoint on elementary school arithmetic” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 109 (9): 796–805. doi:10.2307/3072368. ISSN 0002-9890. JSTOR 3072368. MR 1933702. Zbl 1026.20029. 

외부 링크

• “Cohomology of groups”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Group cohomology”. 《nLab》 (영어). 
• “Cohomology group”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “First cohomology group”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Second cohomology group”. 《Groupprops》 (영어). 
    • “Second cohomology group for trivial group action”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Group cohomology of finite cyclic groups”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Group cohomology of Klein four-group”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Group cohomology of elementary abelian groups”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Group cohomology of dicyclic groups”. 《Groupprops》 (영어). 
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  • “Group cohomology of free groups”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Homology group”. 《Groupprops》 (영어). 
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• Sharifi, Romyar. “Group and Galois cohomology” (PDF) (영어). 2014년 2월 11일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 4월 1일에 확인함. 
• Milne, James S. (2013년 3월 23일). 《Class field theory》 (PDF) (영어) 4.02판. 
• Buzzard, Kevin (2012년 2월 9일). “Notes on the definitions of group cohomology and homology” (PDF) (영어). 
• Conrad, Brian. “The bar resolution” (PDF) (영어). 
• “Kuenneth-formula for group cohomology with nontrivial action on the coefficient”. 《Math Overflow》 (영어).