생일 문제

모인 사람 수에 따라 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 얼마나 되는지를 보이는 그래프. 가로축이 사람 수,그리고 세로축이 확률을 나타낸다. 23명이 모였을 때 확률이 0.5를 넘어감을 보여 준다.

생일 문제(生日問題)란 사람이 임의로 모였을 때 그 중에 생일이 같은 두 명이 존재할 확률을 구하는 문제이다. 생일의 가능한 가짓수는 365개(2월 29일을 고려할 경우 366개)이므로 366명 이상의 사람이 모인다면 비둘기집 원리에 따라 생일이 같은 두 명이 반드시 존재하며, 23명 이상이 모인다면 그 중 두 명이 생일이 같은 확률은 1/2를 넘는다.

생일 문제는 일반적인 인간의 직관과 다른 결과를 가지는 것으로 알려져 있다. 얼핏 생각하기에는 생일이 365가지이므로 임의의 두 사람의 생일이 같을 확률은 1/365이고, 따라서 365명쯤은 모여야 생일이 같은 경우가 있을 것이라고 생각하기 쉽다. 그러나 실제로는 23명만 모여도 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 50%를 넘고, 57명이 모이면 99%를 넘어간다.

생일이 같은 두 사람을 찾는 것과 비슷하게, 암호학적 해시 결과가 같은(해시 충돌) 두 입력값을 찾는 것 역시 모든 입력값을 계산하지 않아도 충분히 높은 확률로 해시 충돌을 찾을 수 있다. 이러한 암호 공격을 생일 공격(birthday attack)이라고 부른다.

확률 계산

만약 366명 이상의 사람이 있다면 비둘기집 원리에 따라 생일이 같은 두 사람이 존재해야 한다. 365명 이하의 사람이 있을 경우를 계산한다. $n$명의 사람이 있을 때 그 중 생일이 같은 사람이 둘 이상 있을 확률을 $p(n)$이라고 한다면, 반대로 모든 사람의 생일이 다를 확률 ${\bar {p}}(n)$은 $1-p(n)$이 된다. 먼저 ${\bar {p}}(n)$을 구해보면, 두 번째 사람의 생일은 첫 번째 사람과 다르고, 세 번째 사람의 생일은 첫 번째와 두 번째 모두와 달라야 하므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

${\begin{aligned}{\bar {p}}(n)&=1\times \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\times \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\times \cdots \times \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)\\&={365\times 364\times 363\times \cdots \times (365-n+1) \over 365^{n}}\\&={365! \over 365^{n}(365-n)!}\end{aligned}}$

가 되고, 최종적으로 구하고자하는 생일이 같은 사람이 둘 이상 있을 확률 $p(n)$은

${\begin{aligned}p(n)&=1-{365! \over 365^{n}(365-n)!}\end{aligned}}$

가 된다. 여기서, n≤365 인 자연수이고, !는 계승을 의미한다.

이 $p(n)$값을 특정 n 값에 대해 계산하면 다음과 같다.

n	p(n)
1	0.0%
5	2.7%
10	11.7%
20	41.1%
23	50.7%
30	70.6%
40	89.1%
50	97.0%
60	99.4%
70	99.9%
100	99.99997%
200	99.9999999999999999999999999998%
300	(100 − (6×10−80))%
350	(100 − (3×10−129))%
365	(100 − (1.45×10−155))%
366	100%
367	100%

즉, 50명만 모이면 그 가운데 2명 이상의 생일이 같을 확률이 97%이고, 100명이 모이면 거의 1에 가까워진다는 것을 알 수 있다.

참고 문헌

• Abramson, M.; Moser, W. O. J. (1970). “More Birthday Surprises”. 《American Mathematical Monthly》 77: 856–858. doi:10.2307/2317022. 
• Bloom, D. (1973). “A Birthday Problem”. 《American Mathematical Monthly》 80: 1141–1142. doi:10.2307/2318556. JSTOR 2318556. 
• Kemeny, John G.; Snell, J. Laurie; Thompson, Gerald (1957). 《Introduction to Finite Mathematics》 Fir판. 
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). “Extensions of the Birthday Surprise”. 《Journal of Combinatorial Theory》 3: 279–282. doi:10.1016/s0021-9800(67)80075-9. 
• McKinney, E. H. (1966). “Generalized Birthday Problem”. 《American Mathematical Monthly》 73: 385–387. doi:10.2307/2315408. 
• Schneps, Leila; Colmez, Coralie (2013). 〈Math error number 5. The case of Diana Sylvester: cold hit analysis〉. 《Math on Trial. How Numbers Get Used and Abused in the Courtroom》. Basic Books. ISBN 978-0-465-03292-1. 
• Sy M. Blinder (2013). 《Guide to Essential Math: A Review for Physics, Chemistry and Engineering Students》. Elsevier. 5–6쪽. ISBN 978-0-12-407163-6. 

외부 링크

• The Birthday Paradox accounting for leap year birthdays
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Birthday Problem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• A humorous article explaining the paradox
• SOCR EduMaterials activities birthday experiment
• Understanding the Birthday Problem (Better Explained)
• Eurobirthdays 2012. A birthday problem. A practical football example of the birthday paradox.
• Grime, James. “23: Birthday Probability”. 《Numberphile》. Brady Haran. 
• Computing the probabilities of the Birthday Problem at WolframAlpha