단위행렬: 두 판 사이의 차이

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[[선형대수학]]에서, '''단위 행렬'''({{llang|en|identity matrix}})은 [[주대각선]]의 원소가 모두 1이며 나머지 원소는 모두 0인 [[정사각 행렬]]이다.<ref>{{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8}}</ref>
{{출처 필요|날짜=2014-01-19}}
[[선형대수학]]에서 [[행렬]]의 크기가 <math>n</math>인 '''단위행렬'''(單位行列,identity matrix)은 [[주대각선|주 대각선]]이 전부 1이고 나머지 원소는 0을 값으로 갖는 <math>n \times n</math> [[정사각행렬]]이다.{{Sfn|Abdelwahab Kharab|Ronald B. Guenther|p=100|2013}} 크기가 <math>n</math>인 단위행렬은 보통 <math>I_n</math>으로 표기하지만, 그 크기가 문맥상 자명하게 유추 가능한 경우 생략하여 <math>I</math>로 쓰기도 한다. 또는 <math>E</math>({{llang|de|Einheitsmatrix}})나 <math>U</math>(unit matrix)로 표기하기도 한다.
:<math>
I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\;
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\;
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\;
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}
</math>
==성질==
<math>I_n</math>의 가장 중요한 성질로는 다음의 것이 있다.


== 정의 ==
:<math>A I_n = A</math> &nbsp;&nbsp;이고&nbsp;&nbsp; <math>I_n B = B</math>이다.
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 단위 행렬 <math>1_{n\times n}\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>는 다음과 같이 정의된다.
:<math>A I_n = A=I_n A = A</math>이다.
:<math>(1_{n\times n})_{ij}=\delta_{ij}=
*단위행렬은 [[행렬]]에서 [[곱셈]]의 [[항등원]]이다.
\begin{cases}
*[[행렬 곱셈|곱셈]]에대해서 [[교환법칙]]이 성립한다.
1&i=j\\
*특수한 [[대각행렬]]이다.
0&i\ne j
*특수한 [[이진 행렬|이진행렬]]이다.
\end{cases}
이런 성질 때문에 단위행렬은 <math>n \times n</math> 행렬로 이루어진 [[환 (수학)|환]]의 '''단위''' 역할을 한다. 또한 <math>n \times n</math> 크기의 [[가역행렬]]로 이루어진 [[군 (수학)|군]]의 [[항등원]]이기도 하다. (단위행렬은 자기 자신이 자신의 역원이므로 당연히 가역행렬임을 알 수 있다.)
\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}</math>

여기서 <math>\delta_{ij}</math>는 [[크로네커 델타]]이다. 이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다.
==차원과 거듭제곱==
:<math>1_{n\times n}=\operatorname{diag}(\underbrace{1,1,1,\dots,1}_n)=
또한 <math>n \times n</math> 정사각행렬을 <math>n</math>차원 [[벡터 공간]]에서 자기 자신으로 가는 [[선형 변환]]으로 보면, <math>I_n</math>은 그 [[기저 (선형대수학)|기저]]와 관계없이 [[항등함수]]임을 알 수 있다.
\begin{pmatrix}

1&0&0&\cdots&0\\
단위행렬의 <math>i</math>번째 열은 [[단위벡터]] ''<math>e_i</math>''가 된다. 단위벡터는 또한 단위행렬의 [[고유벡터]]이며 각각의 [[고윳값]]은 1이다. 이 고윳값 1은 유일한 고윳값이며, 중복도는 <math>n</math>이다. 이로부터 단위행렬의 [[행렬식]]은 1이고 [[대각합]]은 <math>n</math>임을 알 수 있다.
0&1&0&\cdots&0\\

0&0&1&\cdots&0\\
단위행렬 자신의 거듭제곱은 자기자신이다.<ref>https://math.stackexchange.com/questions/1431358/how-to-find-the-terms-in-n-th-power-of-this-matrix</ref><ref>http://www.qc.edu.hk/math/Teaching_Learning/Nth%20power%20of%20a%20square%20matrix.pdf</ref>
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
:거듭제곱 <math>m</math>차 에서,
0&0&0&\cdots&1
:<math>I^m = I</math>이고,
\end{pmatrix}_{n\times n}
:<math>m = n</math>일때,
:<math>I_n^m = I_n=I= 1^n=1</math> 이다.


==주대각 이진 희소행렬==
[[주대각선]]에서 [[이진 행렬]]인 [[희소행렬]]은 단위행렬을 포함하지만 [[영행렬]]로 진행하는 [[유사 단위행렬]] 또는 분할된 단위행렬을 보여준다.
:<math>
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\; , \; \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\; , \; \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
</math>
</math>
작은 크기의 단위 행렬들은 다음과 같다.

:<math>1_{1\times 1}=
==분할 단위행렬==
단위행렬을 분할하고,
:<math>
I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1& 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1& 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0& 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0& 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1& 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
</math>
:<math>
:<math>1_{2\times 2}=
I^a=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0& 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\;\; , \;\;
I^b =\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1& 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math> 을 예약하면,

:<math>A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4
\end{pmatrix} </math>에서,
:<math>A I^a = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
1&0\\
0&1
0 & 0& 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0& 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
3 & 0 & 0 & 0\\
3 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
</math>
:<math>A I^b = \begin{pmatrix}
:<math>1_{3\times 3}=
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
1&0&0\\
0 & 1& 0 & 0\\
0&1&0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0&0&1
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 2 & 2\\
0 & 3 & 4 & 4\\
0 & 3 & 4 & 4
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
</math>


==성질==
:<math>A I^a + A I^b= A (I^a + I^b ) = A I =A</math>
임의의 체 <math>K</math> 위의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(m,n;K)</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>
:<math>1_{m\times m}A=A1_{n\times n}=A</math>
\begin{pmatrix}
특히, 체 <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 단위 행렬은 체 <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 정사각 행렬의 [[행렬 곱셈|곱셈]] [[모노이드]] <math>\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 [[항등원]]이다.
1 & 0 & 0& 0\\

1 & 0 & 0 & 0\\
체 <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 단위 행렬 <math>1_{n\times n}</math>의 [[고윳값]]은 1이며, 그 [[대수적 중복도]]와 [[기하적 중복도]]는 모두 <math>n</math>이다. 즉, <math>K</math> 위의 <math>n</math>차원 [[벡터 공간]]에서 자기 자신으로 가는 [[선형 변환]]이 <math>1_{n\times n}</math>을 행렬로 한다면, 이는 [[기저 (선형대수학)|기저]]와 상관 없이 [[항등 함수]]이다.
3 & 0 & 0 & 0\\

3 & 0 & 0 & 0
모든 실수 [[양의 정부호]] [[이차 형식]]은 단위 행렬을 행렬로 하는 이차 형식(즉, 제곱 합 이차 형식)과 동치이다.
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 2 & 2\\
0 & 3 & 4 & 4\\
0 & 3 & 4 & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4
\end{pmatrix}
</math>


==함께보기==
== 같이 보기 ==
*[[역행렬]]
* [[이진 행렬]]
* [[스칼라 행렬]]
* [[영행렬]]
* [[영행렬]]
* [[역행렬]]
*[[케일리-해밀턴 정리]]
*[[이진 행렬]]
*[[시프트 행렬|쉬프트 행렬]]


== 참조 ==
== 각주 ==
{{각주}}
{{각주}}


== 참고 문헌 ==
== 외부 링크 ==
*([[매스월드]])http://mathworld.wolfram.com/IdentityMatrix.html
* {{매스월드|id=IdentityMatrix|title=Identity matrix}}
* {{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8 |ref=harv}}


[[분류:선형대수학]]
[[분류:선형대수학]]

2018년 11월 3일 (토) 17:28 판

선형대수학에서, 단위 행렬(영어: identity matrix)은 주대각선의 원소가 모두 1이며 나머지 원소는 모두 0인 정사각 행렬이다.[1]

정의

위의 단위 행렬 는 다음과 같이 정의된다.

여기서 크로네커 델타이다. 이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다.

작은 크기의 단위 행렬들은 다음과 같다.

성질

임의의 체 위의 행렬 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

특히, 체 위의 단위 행렬은 체 위의 정사각 행렬의 곱셈 모노이드 항등원이다.

위의 단위 행렬 고윳값은 1이며, 그 대수적 중복도기하적 중복도는 모두 이다. 즉, 위의 차원 벡터 공간에서 자기 자신으로 가는 선형 변환을 행렬로 한다면, 이는 기저와 상관 없이 항등 함수이다.

모든 실수 양의 정부호 이차 형식은 단위 행렬을 행렬로 하는 이차 형식(즉, 제곱 합 이차 형식)과 동치이다.

같이 보기

각주

  1. Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《이공학도를 위한 수치해석》. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8. 

외부 링크