하이젠베르크 군: 두 판 사이의 차이
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만약 <math>K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}</math>일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 [[리 군]]을 이룬다. 이는 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[멱영 리 군]]이며, (정의에 따라) [[유클리드 공간]]과 [[미분 동형]] |
만약 <math>K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}</math>일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 [[리 군]]을 이룬다. 이는 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[멱영 리 군]]이며, (정의에 따라) [[유클리드 공간]]과 [[미분 동형]]이다. |
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=== 행렬 표현 === |
=== 행렬 표현 === |
2018년 10월 19일 (금) 03:45 판
수학에서, 하이젠베르크 군(Heisenberg群, 영어: Heisenberg group)은 리 군의 하나이다. 양자역학에서 쓰인다.
정의
다음이 주어졌다고 하자.
- 표수가 2가 아닌 체
- 위의 심플렉틱 벡터 공간
그렇다면, -벡터 공간
위에 다음과 같은 군 연산을 주자.
이는 군의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있으며, 그 항등원은
이며, 그 역원은
이다. 이 군을 V에 대한 하이젠베르크 군 라고 한다. 이는 아벨 군 의 중심 확대이다. 즉, 다음과 같은 군들의 짧은 완전열이 존재한다.
보통 가 명시되어 있지 않은 경우, 인 경우에 해당한다. 즉, 를 의미한다.
리 대수
표수가 2가 아닌 체 위의 심플렉틱 벡터 공간 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터 공간 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 줄 수 있다.
이를 하이젠베르크 리 대수(영어: Heisenberg Lie algebra) 라고 한다. 마찬가지로, 다음과 같은 리 대수의 짧은 완전열이 존재한다.
여기서 와 는 아벨 리 대수이다.
가 유한 차원일 때, 심플렉틱 기저 를 잡을 수 있다. 위에서, 하이젠베르크 리 대수의 리 괄호는 다음과 같은 꼴이다.
여기서 는 크로네커 델타이다.
성질
표수 0의 체 위에서, 유한 차원 하이젠베르크 군은 멱영군이며, 하이젠베르크 리 대수는 멱영 리 대수이다.
만약 일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 리 군을 이룬다. 이는 연결 단일 연결 멱영 리 군이며, (정의에 따라) 유클리드 공간과 미분 동형이다.
행렬 표현
표수 0의 체 위의 내적 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
위에 다음과 같은, 표준적인 심플렉틱 벡터 공간 구조가 존재한다.
그렇다면, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.
지수 사상
하이젠베르크 군 의 리 대수 는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다.
이 경우, 행렬 지수 함수는 다음과 같다.
표현론
하이젠베르크 군의 군 표현론은 스톤-폰 노이만 정리에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군 의 비자명 유니터리 기약 표현은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) 위의 다음과 같은 표현 와 동형이다.
이를 리 대수 에 대하여 표기하면 다음과 같다.
참고 문헌
- Binz, Ernst; Pods, Sonja (2008). 《The geometry of Heisenberg groups with applications in signal theory, optics, quantization, and field quantization》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 151. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4495-3. Zbl 1155.22001.
- Thangavelu, Sundaram (1998). 《Harmonic analysis on the Heisenberg group》. Progress in Mathematics (영어) 159. Birkhäuser. doi:10.1007/978-1-4612-1772-5. ISBN 978-1-4612-7275-5. Zbl 0892.43001.
- Howe, Roger Evans (1980). “On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 3 (2): 821. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14825-9. ISSN 0273-0979. MR 578375. Zbl 0442.43002.
- Semmes, Stephen (2003년 6월). “An introduction to Heisenberg groups in analysis and geometry” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 50 (6): 640–646. Zbl 1050.22012.
외부 링크
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Heisenberg group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Jefferies, B.R.F. (2001). “Weyl calculus”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Heisenberg group”. 《nLab》 (영어).
- 이철희. “하이젠베르크 군과 대수”. 《수학노트》.
- Chafaï, Djalil (2011년 10월 8일). “Aspects of the Heisenberg group” (영어).