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2008년 9월 1일 (월) 23:03 판

항등원(恒等元)이란, 어떠한 집합에서 다른 원소와 이항연산을 하였을 때 그 결과가 항상 다시 그 원소로 나타나는 원소를 뜻한다.

정의

어떠한 집합 G와 이항연산자 *가 존재하고, G의 모든 원소 $a$ 에 대해 각각,

{\begin{cases}e_{1}*a=a\\a*e_{2}=a\end{cases}}

인 G의 원소 $e_{1}$ 와 $e_{2}$ 가 유일하게 존재하면, 각각 $e_{1}$ 을 연산자 *의 좌항등원(左恒等元), $e_{2}$ 을 연산자 *의 우항등원(右恒等元)이라 부른다. 만약 어떤 원소의 좌항등원과 우항등원이 동일하면 줄여서 항등원이라 한다.

예

집합	연산자	항등원
실수	+ (덧셈)	0
실수	× (곱셈)	1
정사각행렬	+ (덧셈)	영행렬
정사각행렬	× (곱셈)	단위행렬
함수	합성함수	항등함수

같이 읽기

역원

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 == 정의 ==
-어떠한 집합 '''''G'''''와 이항연산자 *가 존재하고, '''''G'''''의 모든 원소 ''a''에 대해 각각,
+어떠한 집합 '''''G'''''와 이항연산자 *가 존재하고, '''''G'''''의 모든 원소 <math>a</math>에 대해 각각,
-: <math>\begin{cases} e_1 * a = a \\ a * e_2 = a \end{cases}</math>
+: <math>
+\begin{cases}
+e_1 * a = a \\
+a * e_2 = a
+\end{cases}</math>
-인 '''''G'''''의 원소 ''e''<sub>1</sub>와 ''e''<sub>2</sub>가 유일하게 존재하면, 각각 ''e''<sub>1</sub>을 연산자 *의 '''좌항등원'''(左恒等元), ''e''<sub>2</sub>을 연산자 *의 '''우항등원'''(右恒等元)이라 부른다. 만약 어떤 원소의 좌항등원과 우항등원이 동일하면 줄여서 '''항등원'''이라 한다.
+인 '''''G'''''의 원소 <math>e_1</math>와 <math>e_2</math>가 유일하게 존재하면, 각각 <math>e_1</math>을 연산자 *의 '''좌항등원'''(左恒等元), <math>e_2</math>을 연산자 *의 '''우항등원'''(右恒等元)이라 부른다. 만약 어떤 원소의 좌항등원과 우항등원이 동일하면 줄여서 '''항등원'''이라 한다.
 == 예 ==