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초점의 좌표가 <math> (a,0)</math>이고 준선의 방정식이 <math> x=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> y^2 = 4ax</math>이고 초점의 좌표가 <math> (0,a)</math>이고 준선의 방정식이 <math> y=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> x^2 = 4ay </math>이다. |
초점의 좌표가 <math> (a,0)</math>이고 준선의 방정식이 <math> x=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> y^2 = 4ax</math>이고 초점의 좌표가 <math> (0,a)</math>이고 준선의 방정식이 <math> y=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> x^2 = 4ay </math>이다. |
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== 역사 == |
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[[파일:Conic sections 2n.png|섬네일|300px|마주 보는 두 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취가 원뿔 곡선이다. 제일 왼쪽의 A가 포물선이다.]] |
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[[원뿔 곡선]]의 엄밀한 정의는 [[메나이크모스]]에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 [[정육면체]]의 [[부피]]를 두배로 늘리는 문제<ref group="주해">정육면체의 부피 문제는 고대 그리시 시대 기하학의 난제 가운데 하나였다. 이와 관련해서는 [[미노스]]의 묘비에 얽힌 전설, [[아폴로]]의 제단에 얽힌 전설 등 다양한 이야기가 전해지고 있다. - Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, {{ISBN|89-7282-298-1}}, 95-96쪽</ref>, 즉 <math>x^3 = 2</math>의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.<ref>토비아스 단치히, 심재관 역, 《과학의 언어 수》, 지식의숲, 2007년, {{ISBN|978-89-9176-244-2}}, 366쪽</ref><ref group="주해">메나이크모스의 해는 전하지 않는다. 11세기 페르시아의 수학자 [[오마르 하이얌]]이 포물선과 원을 이용하여 <math>x^3 + ax = b </math> 꼴의 삼차방정식에 대한 양의 실수근을 작도하였다. - 스티븐 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, {{ISBN|978-89-6105-603-8}}, 88-89쪽</ref> |
[[원뿔 곡선]]의 엄밀한 정의는 [[메나이크모스]]에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 [[정육면체]]의 [[부피]]를 두배로 늘리는 문제<ref group="주해">정육면체의 부피 문제는 고대 그리시 시대 기하학의 난제 가운데 하나였다. 이와 관련해서는 [[미노스]]의 묘비에 얽힌 전설, [[아폴로]]의 제단에 얽힌 전설 등 다양한 이야기가 전해지고 있다. - Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, {{ISBN|89-7282-298-1}}, 95-96쪽</ref>, 즉 <math>x^3 = 2</math>의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.<ref>토비아스 단치히, 심재관 역, 《과학의 언어 수》, 지식의숲, 2007년, {{ISBN|978-89-9176-244-2}}, 366쪽</ref><ref group="주해">메나이크모스의 해는 전하지 않는다. 11세기 페르시아의 수학자 [[오마르 하이얌]]이 포물선과 원을 이용하여 <math>x^3 + ax = b </math> 꼴의 삼차방정식에 대한 양의 실수근을 작도하였다. - 스티븐 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, {{ISBN|978-89-6105-603-8}}, 88-89쪽</ref> |
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[[파일:Parabolic Segment Dissection.svg|섬네일|center|포물선과 직선으로 둘러쌓인 도형의 넓이]] |
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17세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, [[고전역학]]의 [[등가속도운동]]의 계산<ref>오가미 마사시, 임정 역, 《수학으로 풀어보는 물리의 법칙》, 이지북, 2005년, {{ISBN|978-89-5624-190-6}}, 137-138쪽</ref>이나 [[반사망원경]]과 같은 [[광학]] 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.<ref name="George616">George F. Simmons, 고석구 외 역, 《미적분학과 해석기하》, 경문사, {{ISBN|89-7282-435-6}}, 616쪽</ref> 1604년 경 [[갈릴레이]]는 탑 꼭대기에서 수평으로 발사된 물체가 단지 중력에 의해서만 영향을 받는 다면 포물선의 궤적을 그릴 것이란 것을 발견했다.<ref>스티브 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, {{ISBN|978-89-6105-603-8}}, 612쪽</ref> 뉴턴은 포물선의 미분을 연구하다 포물선 회전체 모양의 거울에서는 모든 빛이 초점으로 모인다는 것을 증명하고 이를 바탕으로 반사망원경을 만들었다. [[토목공학]]에서 [[흙댐]]의 [[침윤선]]을 작도할 때도 사용된다.<ref>{{서적 인용 |저자1=장병욱 |저자2=전우정 |저자3=송창섭 |저자4=유찬 |저자5=임성훈 |저자6=김용성 |날짜=2010 |제목=토질역학 |출판사=구미서관 |쪽=109 |isbn=978-89-8225-697-4 }}</ref> |
17세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, [[고전역학]]의 [[등가속도운동]]의 계산<ref>오가미 마사시, 임정 역, 《수학으로 풀어보는 물리의 법칙》, 이지북, 2005년, {{ISBN|978-89-5624-190-6}}, 137-138쪽</ref>이나 [[반사망원경]]과 같은 [[광학]] 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.<ref name="George616">George F. Simmons, 고석구 외 역, 《미적분학과 해석기하》, 경문사, {{ISBN|89-7282-435-6}}, 616쪽</ref> 1604년 경 [[갈릴레이]]는 탑 꼭대기에서 수평으로 발사된 물체가 단지 중력에 의해서만 영향을 받는 다면 포물선의 궤적을 그릴 것이란 것을 발견했다.<ref>스티브 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, {{ISBN|978-89-6105-603-8}}, 612쪽</ref> 뉴턴은 포물선의 미분을 연구하다 포물선 회전체 모양의 거울에서는 모든 빛이 초점으로 모인다는 것을 증명하고 이를 바탕으로 반사망원경을 만들었다. [[토목공학]]에서 [[흙댐]]의 [[침윤선]]을 작도할 때도 사용된다.<ref>{{서적 인용 |저자1=장병욱 |저자2=전우정 |저자3=송창섭 |저자4=유찬 |저자5=임성훈 |저자6=김용성 |날짜=2010 |제목=토질역학 |출판사=구미서관 |쪽=109 |isbn=978-89-8225-697-4 }}</ref> |
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== 포물선의 방정식 == |
== 포물선의 방정식 == |
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<!-- [[파일:Ecuación de parábola vertical.svg|300px| |
<!-- [[파일:Ecuación de parábola vertical.svg|300px|섬네일|준선이 x축에 평행하고 아래로 볼록한 일반적인 포물선]] --> |
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[[파일:Parabola axis001.svg| |
[[파일:Parabola axis001.svg|섬네일|parabol300px|준선이 x축에 평행하고 아래로 볼록한 일반적인 포물선]] |
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개요에서 나타낸 바와 같이 준선이 x축에 평행하고 꼭지점이 원점에 놓인 포물선의 초점을 F(0,p)라고 하면, 이 포물선의 방정식은 |
개요에서 나타낸 바와 같이 준선이 x축에 평행하고 꼭지점이 원점에 놓인 포물선의 초점을 F(0,p)라고 하면, 이 포물선의 방정식은 |
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: <math> y = \frac{1}{4p}x^2 </math> --- ⓐ |
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== 접선의 방정식 == |
== 접선의 방정식 == |
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[[파일:Parabel-tk-s.svg| |
[[파일:Parabel-tk-s.svg|섬네일|포물선 위의 한 점에서 만나는 접선은 유일하다.]] |
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포물선 위의 한 점에서 만나는 [[접선]]의 [[기울기]]는 포물선의 방정식을 [[미분]]하여 구할 수 있다.<ref>고바야시 미치마사, 조윤동 역, 《문과 학생을 위한 미적분》, 아카데미, {{ISBN|978-89-7616-425-4}}, 85-92쪽</ref> |
포물선 위의 한 점에서 만나는 [[접선]]의 [[기울기]]는 포물선의 방정식을 [[미분]]하여 구할 수 있다.<ref>고바야시 미치마사, 조윤동 역, 《문과 학생을 위한 미적분》, 아카데미, {{ISBN|978-89-7616-425-4}}, 85-92쪽</ref> |
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== 성질 == |
== 성질 == |
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=== 원뿔곡선 === |
=== 원뿔곡선 === |
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[[파일:Las parábolas son cuadráticas.svg| |
[[파일:Las parábolas son cuadráticas.svg|섬네일|원뿔곡선에서 포물선은 원뿔의 기울기와 나란한 경우에 해당한다.]] |
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포물선은 원뿔곡선의 하나이다. 원뿔곡선의 일반적인 방정식은 |
포물선은 원뿔곡선의 하나이다. 원뿔곡선의 일반적인 방정식은 |
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: <math>A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0 </math> |
: <math>A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0 </math> |
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=== 포물선의 합동 === |
=== 포물선의 합동 === |
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[[파일:Parabola01 kr.svg| |
[[파일:Parabola01 kr.svg|섬네일|포물선의 각 요소]] |
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어떤 포물선에 대하여 그 포물선의 준선에 평행하고 그 초점을 지나는 직선과 그 포물선의 두 교점을 양 끝점으로 하는 선분을 그 포물선의 통경이라고 한다. 일반적인 포물선의 방정식 |
어떤 포물선에 대하여 그 포물선의 준선에 평행하고 그 초점을 지나는 직선과 그 포물선의 두 교점을 양 끝점으로 하는 선분을 그 포물선의 통경이라고 한다. 일반적인 포물선의 방정식 |
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: <math> y - k = \frac{(x - h)^2}{4p} </math> |
: <math> y - k = \frac{(x - h)^2}{4p} </math> |
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=== 반사성질 === |
=== 반사성질 === |
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[[파일:Parabel 2.svg| |
[[파일:Parabel 2.svg|섬네일|포물선의 반사성질]] |
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그림과 같이 포물선 위의 한 점 E에서 만나는 접선을 생각하면 포물선으로 들어오는 빛의 입사각과 접선에서 초점으로 나가는 반사각이 같음을 알 수 있다. 이와 같은 포물선의 성질은 여러 곳에서 응용되고 있다. 포물선을 회전하여 반사면을 만들면 [[빛]]과 같은 [[전자기파]]를 촛점으로 모을 수도 있고, 반대로 촛점에 광원을 놓으면 빛은 포물면에 반사된 뒤 곧게 나아간다. 이러한 반사 성질은 [[반사망원경]]이나 [[파라볼라 안테나]], [[손전등]]과 같은 것에 사용된다.<ref name="George616" /> |
그림과 같이 포물선 위의 한 점 E에서 만나는 접선을 생각하면 포물선으로 들어오는 빛의 입사각과 접선에서 초점으로 나가는 반사각이 같음을 알 수 있다. 이와 같은 포물선의 성질은 여러 곳에서 응용되고 있다. 포물선을 회전하여 반사면을 만들면 [[빛]]과 같은 [[전자기파]]를 촛점으로 모을 수도 있고, 반대로 촛점에 광원을 놓으면 빛은 포물면에 반사된 뒤 곧게 나아간다. 이러한 반사 성질은 [[반사망원경]]이나 [[파라볼라 안테나]], [[손전등]]과 같은 것에 사용된다.<ref name="George616" /> |
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2018년 9월 12일 (수) 19:22 판
포물선(抛物線, 문화어: 팔매선, 영어: parabola)은 한 점과 그 점을 지나지 않는 한 직선에 이르는 거리가 같은 그 점과 그 직선을 포함하는 평면 위의 점의 자취이다. 이 때 그 점을 그 포물선의 초점이라 하고 그 직선을 그 포물선의 준선이라 한다. 그리고 어떤 포물선에 대하여 그 포물선의 준선에 수직이고 그 포물선의 초점을 지나는 직선을 그 포물선의 축이라고 하는데 그 포물선의 축은 그 포물선을 대칭시키는 유일한 직선이다. 또 어떤 포물선에 대하여 그 포물선과 그 포물선의 축의 교점을 그 포물선의 꼭짓점이라고 하는데 그 포물선의 꼭짓점은 그 포물선의 초점과 가장 가까운 그 포물선 위의 유일한 점이다. 다시 말해 어떤 포물선에 대하여 그 포물선의 초점을 중심으로 하고 그 포물선의 초점과 그 포물선의 꼭짓점을 양끝점으로 하는 선분을 반지름으로 하는 원과 그 포물선의 교점은 그 포물선의 꼭짓점으로 유일하다.
좌표평면에서의 포물선
초점의 좌표가 이고 준선의 방정식이 인 포물선의 방정식은 이고 초점의 좌표가 이고 준선의 방정식이 인 포물선의 방정식은 이다.
이는 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 증명할 수 있다.
다음은 "초점의 좌표가 이고 준선의 방정식이 인 포물선의 방정식은 이다."라는 명제의 증명이다.
초점의 좌표가 이고 준선의 방정식이 인 포물선 위의 점의 좌표를 라고 하자.
그러면 두 점 사이의 거리 공식에 의하여 점 에서 점 , 직선 에 이르는 거리가 각각 , 이므로
포물선의 정의에 의하여 점 의 자취의 방정식은 인데
, 이므로
점 의 자취의 방정식은 이다. 따라서 초점의 좌표가 이고 준선의 방정식이 인 포물선의 방정식은 이다.
"초점의 좌표가 이고 준선의 방정식이 인 포물선의 방정식은 이다."라는 명제도 위의 증명과 같은 방법으로 증명할 수 있다.
또 이를 통해 이차함수의 그래프는 준선이 x 또는 y축에 평행한 포물선을 그린다는 것을 알 수 있다.
역사
원뿔 곡선의 엄밀한 정의는 메나이크모스에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 정육면체의 부피를 두배로 늘리는 문제[주해 1], 즉 의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.[1][주해 2]
원뿔 곡선의 수학적 특성을 집대성한 것은 페르게의 아폴로니오스로 그는 모두 8권의 《원뿔 곡선론》을 저술하였다. 이 가운데 일곱권이 오늘날까지 전해지는데 네 권은 그리스어로 세 권은 아랍어로 된 판본이 남아있다.[2]
아르키메데스는 실진법을 이용하여 포물선과 직선으로 둘러쌓인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이의 4⁄3임을 증명하였다.[3] 아르키메데스의 증명 과정을 간략히 소개하면,
- 포물선을 가로지르는 직선을 한 변으로 하는 내접 삼각형을 그린다.
- 위와 같이 하여 그린 내접 삼각형에 의해 포물선은 두 구간으로 분할되며 여기에 다시 같은 방법으로 내접 삼각형을 그릴 수 있다.
- 이렇게 계속하여 내접 삼각형을 그려나가면 아래의 그림과 같이 포물선을 가로지르는 직선에 둘러싸인 도형은 무수히 많은 삼각형으로 분할된다.
- 최초의 내접 삼각형 넓이를 1이라고 하면 전체 삼각형의 넓이는 다음의 공식에 의해 구할 수 있다.
이는 공비가 1⁄4인 기하급수를 구하는 것과 같다.
17세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, 고전역학의 등가속도운동의 계산[4]이나 반사망원경과 같은 광학 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.[5] 1604년 경 갈릴레이는 탑 꼭대기에서 수평으로 발사된 물체가 단지 중력에 의해서만 영향을 받는 다면 포물선의 궤적을 그릴 것이란 것을 발견했다.[6] 뉴턴은 포물선의 미분을 연구하다 포물선 회전체 모양의 거울에서는 모든 빛이 초점으로 모인다는 것을 증명하고 이를 바탕으로 반사망원경을 만들었다. 토목공학에서 흙댐의 침윤선을 작도할 때도 사용된다.[7]
포물선의 방정식
개요에서 나타낸 바와 같이 준선이 x축에 평행하고 꼭지점이 원점에 놓인 포물선의 초점을 F(0,p)라고 하면, 이 포물선의 방정식은
- --- ⓐ
로 나타낼 수 있다. 이를 x축으로 h만큼, y축으로 k만큼 평행 이동하면
- --- ⓑ
이 된다.[8]
이때 초점과 준선 역시 평행이동 되므로 초점은 , 준선은 가 된다.
위의 식 ⓑ를 풀어
의 꼴로 나타낼 때, 라고 하면, 포물선의 방정식은
- --- ⓒ
로 나타낼 수 있다.
준선이 y축에 평행하다면 식 ⓑ는 x와 y가 뒤바뀌어 꼴이 될 것이다.[8]
접선의 방정식
포물선 위의 한 점에서 만나는 접선의 기울기는 포물선의 방정식을 미분하여 구할 수 있다.[9]
예를 들어 위의 한 점 와 만나는 접선의 기울기를 계산하면,
이므로, 일때 기울기는 2가 된다. 따라서 이 직선의 방정식은 의 꼴임을 알 수 있다. 한편, 이 직선이 점 를 지나므로 c는 -1 이 된다. 따라서 위의 한 점 와 만나는 직선의 방정식은 이 된다. 포물선 위의 한 점에서 만나는 접선은 유일하고, 역으로 특정한 기울기를 갖는 접선은 오직 포물선 위의 한 점에서만 만난다.
기울기가 주어졌을 경우
기울기가 로 주어졌을 경우, 포물선의 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.
- 일 때
- 일 때
접점이 주어졌을 경우
포물선 위의 점 에서 접선을 그었을 경우, 포물선의 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.
- 일 때
- 일 때
포물선의 극방정식
극좌표계에서 포물선은 다음과 같이 정의된다.
성질
원뿔곡선
포물선은 원뿔곡선의 하나이다. 원뿔곡선의 일반적인 방정식은
으로 나타낼 수 있고, 위 식에서 의 관계가 성립할 때 포물선이 된다.[10] 원뿔곡선에서 포물선이 갖는 성질을 기하학적으로 살펴보면 그림과 같이 하나의 평면으로 원뿔을 중심각과 나란한 방향으로 절단할 때 포물선이 나타나게 된다.
포물선의 합동
어떤 포물선에 대하여 그 포물선의 준선에 평행하고 그 초점을 지나는 직선과 그 포물선의 두 교점을 양 끝점으로 하는 선분을 그 포물선의 통경이라고 한다. 일반적인 포물선의 방정식
에서 살펴 보면 통경의 양 끝 점의 x축 성분은 로 놓아 구할 수 있다.
와 같이 되어 통경의 두 끝점 좌표는 가 되고, 선분의 길이는 임을 알 수 있다. 즉 통경의 길이는 언제나 꼭지점과 촛점 사이의 거리의 4배이다.[11] 이와 같이 통경의 길이는 각 포물선의 방정식 마다 유일하고 통경의 길이가 같다면 두 포물선은 합동이다.[12]
반사성질
그림과 같이 포물선 위의 한 점 E에서 만나는 접선을 생각하면 포물선으로 들어오는 빛의 입사각과 접선에서 초점으로 나가는 반사각이 같음을 알 수 있다. 이와 같은 포물선의 성질은 여러 곳에서 응용되고 있다. 포물선을 회전하여 반사면을 만들면 빛과 같은 전자기파를 촛점으로 모을 수도 있고, 반대로 촛점에 광원을 놓으면 빛은 포물면에 반사된 뒤 곧게 나아간다. 이러한 반사 성질은 반사망원경이나 파라볼라 안테나, 손전등과 같은 것에 사용된다.[5]
-
팔로마천문대의 헤일 반사망원경
-
반사되어 나가는 손전등의 빛
주해
- ↑ 정육면체의 부피 문제는 고대 그리시 시대 기하학의 난제 가운데 하나였다. 이와 관련해서는 미노스의 묘비에 얽힌 전설, 아폴로의 제단에 얽힌 전설 등 다양한 이야기가 전해지고 있다. - Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, ISBN 89-7282-298-1, 95-96쪽
- ↑ 메나이크모스의 해는 전하지 않는다. 11세기 페르시아의 수학자 오마르 하이얌이 포물선과 원을 이용하여 꼴의 삼차방정식에 대한 양의 실수근을 작도하였다. - 스티븐 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, ISBN 978-89-6105-603-8, 88-89쪽
각주
- ↑ 토비아스 단치히, 심재관 역, 《과학의 언어 수》, 지식의숲, 2007년, ISBN 978-89-9176-244-2, 366쪽
- ↑ Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, ISBN 89-7282-298-1, 156-157 쪽
- ↑ Stein, Sherman (2006). 《아르키메데스》. 번역 이우영. 경문사. 87쪽. ISBN 89-7282-926-9.
- ↑ 오가미 마사시, 임정 역, 《수학으로 풀어보는 물리의 법칙》, 이지북, 2005년, ISBN 978-89-5624-190-6, 137-138쪽
- ↑ 가 나 George F. Simmons, 고석구 외 역, 《미적분학과 해석기하》, 경문사, ISBN 89-7282-435-6, 616쪽
- ↑ 스티브 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, ISBN 978-89-6105-603-8, 612쪽
- ↑ 장병욱; 전우정; 송창섭; 유찬; 임성훈; 김용성 (2010). 《토질역학》. 구미서관. 109쪽. ISBN 978-89-8225-697-4.
- ↑ 가 나 스티브 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, ISBN 978-89-6105-603-8, 69쪽 - 이 책에서는 초점을 원점에 놓은 포물선을 평행이동 시켜 일반적인 관계식을 구한다. 그러나 그 결과는 본질적으로 같다.
- ↑ 고바야시 미치마사, 조윤동 역, 《문과 학생을 위한 미적분》, 아카데미, ISBN 978-89-7616-425-4, 85-92쪽
- ↑ Methods to solve Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
- ↑ latus rectum
- ↑ Lesson 34: Are All Parabolas Congruent?