계승: 두 판 사이의 차이
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== 정의 == |
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음이 아닌 정수 <math>n</math>의 '''계승''' <math>n!</math>은 다음과 같이 정의된다. |
음이 아닌 정수 <math>n</math>의 '''계승''' <math>n!</math>은 다음과 같이 정의된다. |
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:<math>n!=\prod_{k=1}^nk=1\ |
:<math>n!=\prod_{k=1}^nk=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdots\cdot3\cdot2\cdot1</math> |
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특히, 0의 계승은 1이다. |
특히, 0의 계승은 1이다. |
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:<math>0!=1</math> |
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* <math>\lfloor-\rfloor</math>는 [[바닥 함수]]이다. |
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* <math>\alpha_p(n)</math>은 <math>n</math>의 ''p''진법 전개의 자릿수의 합이다. |
* <math>\alpha_p(n)</math>은 <math>n</math>의 ''p''진법 전개의 자릿수의 합이다. |
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==계산 예== |
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팩토리얼(<math>factorial</math>)은 다음과 같은 연산이 이루어진다. |
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:<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1) </math> |
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:<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-2))\cdot(n-(n-1)) </math> |
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:<math> n! = (n-0)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-1)+1)\cdot(n-(n-0)+1)</math> |
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:<math> 1! = (1)=(1-1+1)=(1-(1-1))=(1-(1-0)+1)=1</math> |
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:*<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)\;\;,\; (0< k\le n) </math> |
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::<math> {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) </math> |
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::<math>{}_{n}P_{k} = {}_{n}P_{k} \times { {(n-k)!} \over {(n-k)!} } </math> |
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::<math> {}_{n}P_{k} ={{ {}_{n}P_{k} \times (n-k)!} \over{(n-k)!} } </math> |
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::<math>\therefore\; {}_{n}P_{k} ={{n!} \over{(n-k)!} } </math> |
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:<math>k=n\;,\; </math> |
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::<math> {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) </math> |
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::<math> {}_{n}P_{n} = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)=n! </math> |
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:<math> {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{(n-n)!} } </math> |
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::<math> {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{0!} } </math> |
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::<math> {0!} ={{n!} \over {{}_{n}P_{n}} } </math> |
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:<math>\therefore\; {0!} ={{n!} \over {n!} } \;\;(\because\;{}_{n}P_{n} ={{n!} } )</math> |
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:<math> {0!} ={1\over 1 } </math> |
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:<math> {0!} =1 </math> |
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== 응용 == |
== 응용 == |
2018년 3월 27일 (화) 13:09 판
수학에서, 자연수의 계승(階乘, 문화어: 차례곱, 영어: factorial 팩토리얼[*])은 그 수보다 작거나 같은 모든 양의 정수의 곱이다. 기호는 을 쓰며 팩토리얼이라고 읽는다. 팩토리얼을 줄여서 팩이라고 읽기도 한다.
정의
음이 아닌 정수 의 계승 은 다음과 같이 정의된다.
특히, 0의 계승은 1이다.
처음 몇 계승은 다음과 같다.
- 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ... (OEIS의 수열 A000142)
복소수의 계승
감마 함수를 통해 계승의 정의역을 음의 정수를 제외한 복소수까지 확장할 수 있다. 감마 함수 의 정의역은 이며, 양의 실수부에서의 값은 다음과 같다.
감마 함수와 계승의 관계는 다음과 같다.
이에 따라, 음의 정수가 아닌 복소수 의 계승을 다음과 같이 정의할 수 있다.
특히, 반정수의 계승은 다음과 같다.
기수의 계승
계승이 대칭군의 크기와 같다는 사실을 통해 계승을 임의의 기수까지 확장할 수 있다. 즉, 기수 의 계승 는 다음과 같다.
다중 계승
계승의 정의에서 연속된 자연수들을 곱하는 대신 법에 대하여 합동인 자연수들만 곱하면, 다중 계승(多重階乘, 영어: multifactorial)의 정의를 얻는다. 즉, 양의 정수 과 정수 가 주어졌을 때, 의 중 계승은 다음과 같다. (이는 번의 계승과 다른 개념이다.)
특히, 일 경우 다음과 같다.
예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, 이중 계승(二重階乘, 영어: double factorial)은 다음과 같다. 임의의 에 대하여,
특히, 이다.
처음 몇 이중·삼중·사중 계승은 각각 다음과 같다.
- 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ... (OEIS의 수열 A006882)
- 1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ... (OEIS의 수열 A007661)
- 1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ... (OEIS의 수열 A007662)
지수 계승
계승의 정의에서 곱셈 대신 덧셈을 사용하면, 삼각수의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 의 삼각수 은 다음과 같다.
계승의 정의에서 곱셈 대신 거듭제곱을 사용하면, 지수 계승(指數階乘, 영어: exponential factorial)의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 의 지수 계승 은 다음과 같다.
처음 몇 지수 계승은 다음과 같다.
성질
항등식
계승·중 계승·지수 계승의 점화식은 각각 다음과 같다.
점근 공식
또한, 임의의 에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
특히, 큰 에 대하여, 계승에 대한 스털링 근사는 다음과 같다.
수론적 성질
임의의 및 소수 에 대하여, 은 과 동치이다. 또한, 르장드르 공식(Legendre公式, 영어: Legendre's formula)에 따르면, 의 소인수 분해에서 의 지수 는 다음과 같다. (충분히 뒤에 있는 항들이 모두 0이므로 이는 유한 급수이다.)
여기서
- 는 바닥 함수이다.
- 은 의 p진법 전개의 자릿수의 합이다.
응용
계승 소수
관련 개념
소수 계승
음이 아닌 정수 의 소수 계승은 이하의 모든 소수의 곱이다.
상승 계승과 하강 계승
역사
계승의 기본적인 개념은 n개의 원소의 순열의 개수로서 이미 12세기 인도 수학에 알려져 있었다.[1]
프랑스어: factorielle 팍토리엘[*]이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가(프랑스어: Louis François Antoine Arbogast)가 사용하였다. 느낌표 표기법은 1808년 수학자 크리스티앙 크랑(프랑스어: Christian Kramp)이 저서 《보편 산술 원론》(프랑스어: Éléments d’arithmétique universelle)[2] 에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 프랑스어: faculté 파퀼테[*])라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다.
함께보기
참고 문헌
- Hadamard, M. J. (1968). 〈Sur l’expression du produit 1·2·3· · · · ·(n−1) par une fonction entière〉 (PDF). 《Œuvres de Jacques Hadamard》 (프랑스어). Paris: Centre National de la Recherche Scientifiques.
외부 링크
- 이철희. “팩토리얼(factorial)”. 《수학노트》.
- “Factorial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Factorial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Double factorial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Multifactorial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Exponential factorial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Factorial”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Definition:Factorial”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Category:Factorials”. 《ProofWiki》 (영어).