마이셀-메르텐스 상수: 두 판 사이의 차이

내용 삭제됨 내용 추가됨

인라인

2018년 3월 2일 (금) 21:02 판

마이셀-메르텐스 상수(Meissel-Mertens constant)

다음은 메르텐스의 정리에서 메르텐스의 제2정리(Mertens' 2nd theorems) 이다.

p

를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다.^[1]

M=\lim _{n\to \infty }\left(-\ln \ln n+\sum _{p\leq n}{{1} \over {p}}\right)=B_{1}=0.2614972128\ldots

(OEIS의 수열 A077761)

이 수렴값( $B_{1}$ )을 마이셀-메르텐스 상수(Meissel–Mertens constant) 또는 메르텐스 상수라 한다.

B_{1}=\sum _{k=1}^{\infty }\left(\ln \left(1-{{1} \over {p_{k}}}\right)+{{1} \over {p_{k}}}\right)+\gamma

B_{1}=\sum _{p}\left(\ln \left(1-{{1} \over {p}}\right)+{{1} \over {p}}\right)+\gamma

\;\;\;=\sum _{p}\left(\ln \left({{p-1} \over {p}}\right)+{{1} \over {p}}\right)+\gamma

B_{1}=\sum _{n=2}^{\infty }\left({{\mu (n)} \over {n}}\ln(\zeta (n))\right)+\gamma

^[2]

\mu

,\zeta

,\gamma

메르텐스의 제1정리로 부터 메르텐스 상수 $B_{3}$ 를 얻을수있다.^[3]^[4]

p

를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다.^[5]

B_{3}=\lim _{n\to \infty }\left(\ln n-\sum _{p\leq n}{{\ln p} \over {p}}\right)

B_{3}=\left(\sum _{x=2}^{\infty }\sum _{y=1}^{\infty }{{\ln p_{y}} \over {p_{y}^{x}}}\right)+\gamma

이 수렴값은 약 $1.3325822757..$ 이다.^[6](OEIS의 수열 A083343)

@@ 20번째 줄: / 20번째 줄: @@
 :<math>B_1= \sum_{n=2}^{\infty} \left( {{\mu(n)}\over{n}}  \ln(\zeta(n)) \right) + \gamma</math> <ref>(Flajolet and Vardi 1996, Schroeder 1997, Knuth 1998).</ref>
 :<math>\mu </math>는 [[뫼비우스 함수]] <math>, \zeta</math> 는 [[리만 제타 함수]] <math>, \gamma</math> [[오일러-마스케로니 상수]]
+== 메르텐스의 제1정리 ==
+메르텐스의 제1정리로 부터 메르텐스 상수 <math>B_3</math> 를 얻을수있다.<ref>(OEIS)http://oeis.org/A083343</ref><ref>(매스월드)http://mathworld.wolfram.com/MertensConstant.html</ref>
+:<math>p</math>를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다.<ref>(Rosser and Schoenfeld 1962, Montgomery 1971, Finch 2003)</ref>
+:<math>B_3= \lim_{n \to \infty} \left( \ln n - \sum_{p \leq n} {{\ln p}\over{p}} \right)</math>
+:<math>B_3=  \left( \sum_{x = 2}^{\infty} \sum_{y = 1}^{\infty} {{\ln p_y}\over{p_y^x}} \right) + \gamma</math>
+이 수렴값은 약 <math>1.3325822757..</math>이다.<ref>([[OEIS]])http://oeis.org/A083343</ref>{{OEIS|A083343}}
 ==함께보기==