72번째 줄:
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* <math>\lfloor-\rfloor</math>는 [[바닥 함수]]이다.
* <math>\lfloor-\rfloor</math>는 [[바닥 함수]]이다.
* <math>\alpha_p(n)</math>은 <math>n</math>의 ''p''진법 전개의 자릿수의 합이다.
* <math>\alpha_p(n)</math>은 <math>n</math>의 ''p''진법 전개의 자릿수의 합이다.
==계산 예==
팩토리얼(<math>factorial</math>)은 다음과 같은 연산이 이루어진다.
:<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1) </math>
:<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-2))\cdot(n-(n-1)) </math>
:<math> n! = (n-0)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-1)+1)\cdot(n-(n-0)+1)</math>
:<math> 1! = (1)=(1-1+1)=(1-(1-1))=(1-(1-0)+1)=1</math>
:*<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)\;\;,\; (0< k\le n) </math>
::<math> {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) </math>
::<math>{}_{n}P_{k} = {}_{n}P_{k} \times { {(n-k)!} \over {(n-k)!} } </math>
::<math> {}_{n}P_{k} ={{ {}_{n}P_{k} \times (n-k)!} \over{(n-k)!} } </math>
::<math>\therefore\; {}_{n}P_{k} ={{n!} \over{(n-k)!} } </math>
:<math>k=n\;,\; </math>
::<math> {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) </math>
::<math> {}_{n}P_{n} = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)=n! </math>
:<math> {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{(n-n)!} } </math>
::<math> {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{0!} } </math>
::<math> {0!} ={{n!} \over {{}_{n}P_{n}} } </math>
:<math>\therefore\; {0!} ={{n!} \over {n!} } \;\;(\because\;{}_{n}P_{n} ={{n!} } )</math>
:<math> {0!} ={1\over 1 } </math>
:<math> {0!} =1 </math>
== 응용 ==
== 응용 ==
수학 에서, 자연수 의 계승 (階乘, 문화어 : 차례곱, 영어 : factorial 팩토리얼[* ] )은 그 수보다 작거나 같은 모든 양의 정수의 곱이다. 기호는
!
{\displaystyle !}
을 쓰며 팩토리얼 이라고 읽는다. 팩토리얼을 줄여서 팩 이라고 읽기도 한다.
정의
음이 아닌 정수
n
{\displaystyle n}
의 계승
n
!
{\displaystyle n!}
은 다음과 같이 정의된다.
n
!
=
∏
k
=
1
n
k
=
1
×
2
×
3
×
⋯
×
n
{\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k=1\times 2\times 3\times \cdots \times n}
특히, 0의 계승은 1이다.
0
!
=
1
{\displaystyle 0!=1}
처음 몇 계승은 다음과 같다.
1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ... (OEIS 의 수열 A000142 )
복소수의 계승
감마 함수 를 통해 계승의 정의역을 음의 정수를 제외한 복소수 까지 확장 할 수 있다. 감마 함수
Γ
{\displaystyle \Gamma }
의 정의역은
C
∖
{
0
,
−
1
,
−
2
,
…
}
{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\dots \}}
이며, 양의 실수부에서의 값은 다음과 같다.
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
(
Re
z
>
0
)
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\mathrm {d} t\qquad (\operatorname {Re} z>0)}
감마 함수와 계승의 관계는 다음과 같다.
n
!
=
Γ
(
n
+
1
)
(
n
∈
N
)
{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\qquad (n\in \mathbb {N} )}
이에 따라, 음의 정수가 아닌 복소수
z
{\displaystyle z}
의 계승을 다음과 같이 정의할 수 있다.
z
!
=
Γ
(
z
+
1
)
(
z
∈
C
∖
{
−
1
,
−
2
,
…
}
)
{\displaystyle z!=\Gamma (z+1)\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{-1,-2,\dots \})}
특히, 반정수 의 계승은 다음과 같다.
(
n
−
1
/
2
)
!
=
π
(
2
n
−
1
)
!
!
/
2
n
=
π
∏
k
=
1
n
(
k
−
1
/
2
)
(
n
∈
N
)
{\displaystyle (n-1/2)!={\sqrt {\pi }}(2n-1)!!/2^{n}={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}(k-1/2)\qquad (n\in \mathbb {N} )}
기수의 계승
계승이 대칭군 의 크기와 같다는 사실을 통해 계승을 임의의 기수 까지 확장할 수 있다. 즉, 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
의 계승
κ
!
{\displaystyle \kappa !}
는 다음과 같다.
κ
!
=
|
Sym
(
κ
)
|
=
{
κ
(
κ
−
1
)
(
κ
−
2
)
⋯
3
⋅
2
⋅
1
κ
<
ℵ
0
2
κ
κ
≥
ℵ
0
{\displaystyle \kappa !=|\operatorname {Sym} (\kappa )|={\begin{cases}\kappa (\kappa -1)(\kappa -2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1&\kappa <\aleph _{0}\\2^{\kappa }&\kappa \geq \aleph _{0}\end{cases}}}
다중 계승
계승의 정의에서 연속된 자연수들을 곱하는 대신 법에 대하여 합동인 자연수들만 곱하면, 다중 계승 (多重階乘, 영어 : multifactorial )의 정의를 얻는다. 즉, 양의 정수
k
{\displaystyle k}
과 정수
n
>
−
k
{\displaystyle n>-k}
가 주어졌을 때,
n
{\displaystyle n}
의
k
{\displaystyle k}
중 계승은 다음과 같다. (이는
k
{\displaystyle k}
번의 계승과 다른 개념이다.)
n
!
k
=
∏
i
=
0
⌊
(
n
−
1
)
/
k
⌋
(
n
−
i
k
)
{\displaystyle n!_{k}=\prod _{i=0}^{\lfloor (n-1)/k\rfloor }(n-ik)}
특히,
−
k
<
n
≤
0
{\displaystyle -k<n\leq 0}
일 경우 다음과 같다.
1
=
0
!
k
=
(
−
1
)
!
k
=
(
−
2
)
!
k
=
⋯
=
(
−
(
k
−
1
)
)
!
k
{\displaystyle 1=0!_{k}=(-1)!_{k}=(-2)!_{k}=\cdots =(-(k-1))!_{k}}
예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, 이중 계승 (二重階乘, 영어 : double factorial )은 다음과 같다. 임의의
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
에 대하여,
(
2
n
)
!
!
=
2
n
n
!
=
∏
k
=
1
n
2
k
=
(
2
n
)
(
2
n
−
2
)
(
2
n
−
4
)
⋯
6
⋅
4
⋅
2
{\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!=\prod _{k=1}^{n}2k=(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}
(
2
n
−
1
)
!
!
=
(
2
n
)
!
/
(
2
n
n
!
)
=
∏
k
=
1
n
(
2
k
−
1
)
=
(
2
n
−
1
)
(
2
n
−
3
)
(
2
n
−
5
)
⋯
5
⋅
3
⋅
1
{\displaystyle (2n-1)!!=(2n)!/(2^{n}n!)=\prod _{k=1}^{n}(2k-1)=(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}
특히,
1
=
0
!
!
=
(
−
1
)
!
!
{\displaystyle 1=0!!=(-1)!!}
이다.
처음 몇 이중·삼중·사중 계승은 각각 다음과 같다.
1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ... (OEIS 의 수열 A006882 )
1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ... (OEIS 의 수열 A007661 )
1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ... (OEIS 의 수열 A007662 )
지수 계승
계승의 정의에서 곱셈 대신 덧셈을 사용하면, 삼각수 의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수
n
{\displaystyle n}
의 삼각수
T
n
{\displaystyle T_{n}}
은 다음과 같다.
T
n
=
n
(
n
+
1
)
/
2
=
∑
k
=
1
n
k
=
n
+
(
n
−
1
)
+
(
n
−
2
)
+
⋯
+
2
+
1
{\displaystyle T_{n}=n(n+1)/2=\sum _{k=1}^{n}k=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +2+1}
계승의 정의에서 곱셈 대신 거듭제곱 을 사용하면, 지수 계승 (指數階乘, 영어 : exponential factorial )의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수
n
{\displaystyle n}
의 지수 계승
a
n
{\displaystyle a_{n}}
은 다음과 같다.
a
n
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
2
1
{\displaystyle a_{n}=n^{(n-1)^{(n-2)^{\cdots ^{2^{1}}}}}}
처음 몇 지수 계승은 다음과 같다.
1, 1, 2, 9, 262144, ... (OEIS 의 수열 A049384 )
성질
항등식
계승·
k
{\displaystyle k}
중 계승·지수 계승의 점화식 은 각각 다음과 같다.
n
!
=
n
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle n!=n(n-1)!}
n
!
k
=
n
(
n
−
k
)
!
k
{\displaystyle n!_{k}=n(n-k)!_{k}}
a
n
=
n
a
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=n^{a_{n-1}}}
점근 공식
또한, 임의의
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
2
π
n
(
n
/
e
)
n
<
n
!
<
2
π
n
(
n
/
e
)
n
e
1
/
(
12
n
)
{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}e^{1/(12n)}}
특히, 큰
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
에 대하여, 계승에 대한 스털링 근사 는 다음과 같다.
n
!
≈
2
π
n
(
n
/
e
)
n
{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}(n/e)^{n}}
수론적 성질
임의의
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
및 소수
p
{\displaystyle p}
에 대하여,
p
∣
n
!
{\displaystyle p\mid n!}
은
p
≤
n
{\displaystyle p\leq n}
과 동치 이다. 또한, 르장드르 공식 (Legendre公式, 영어 : Legendre's formula )에 따르면,
n
!
{\displaystyle n!}
의 소인수 분해 에서
p
{\displaystyle p}
의 지수
v
p
(
n
!
)
{\displaystyle v_{p}(n!)}
는 다음과 같다. (충분히 뒤에 있는 항들이 모두 0이므로 이는 유한 급수이다.)
v
p
(
n
!
)
=
∑
k
=
1
∞
⌊
n
p
k
⌋
=
n
−
α
p
(
n
)
p
−
1
{\displaystyle v_{p}(n!)=\sum _{k=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor ={\frac {n-\alpha _{p}(n)}{p-1}}}
여기서
⌊
−
⌋
{\displaystyle \lfloor -\rfloor }
는 바닥 함수 이다.
α
p
(
n
)
{\displaystyle \alpha _{p}(n)}
은
n
{\displaystyle n}
의 p 진법 전개의 자릿수의 합이다.
계산 예
팩토리얼(
f
a
c
t
o
r
i
a
l
{\displaystyle factorial}
)은 다음과 같은 연산이 이루어진다.
n
!
=
(
n
)
⋅
(
n
−
1
)
⋅
(
n
−
2
)
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
(
n
−
n
+
2
)
⋅
(
n
−
n
+
1
)
{\displaystyle n!=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-n+2)\cdot (n-n+1)}
n
!
=
(
n
)
⋅
(
n
−
1
)
⋅
(
n
−
2
)
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
(
n
−
(
n
−
2
)
)
⋅
(
n
−
(
n
−
1
)
)
{\displaystyle n!=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-(n-2))\cdot (n-(n-1))}
n
!
=
(
n
−
0
)
⋅
(
n
−
1
)
⋅
(
n
−
2
)
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
(
n
−
(
n
−
1
)
+
1
)
⋅
(
n
−
(
n
−
0
)
+
1
)
{\displaystyle n!=(n-0)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-(n-1)+1)\cdot (n-(n-0)+1)}
1
!
=
(
1
)
=
(
1
−
1
+
1
)
=
(
1
−
(
1
−
1
)
)
=
(
1
−
(
1
−
0
)
+
1
)
=
1
{\displaystyle 1!=(1)=(1-1+1)=(1-(1-1))=(1-(1-0)+1)=1}
n
!
=
(
n
)
⋅
(
n
−
1
)
⋅
(
n
−
2
)
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
(
n
−
n
+
2
)
⋅
(
n
−
n
+
1
)
,
(
0
<
k
≤
n
)
{\displaystyle n!=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-n+2)\cdot (n-n+1)\;\;,\;(0<k\leq n)}
n
P
k
=
(
n
)
⋅
(
n
−
1
)
⋅
(
n
−
2
)
⋅
⋅
⋅
(
n
−
k
+
2
)
⋅
(
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle {}_{n}P_{k}=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot (n-k+2)\cdot (n-k+1)}
n
P
k
=
n
P
k
×
(
n
−
k
)
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {}_{n}P_{k}={}_{n}P_{k}\times {{(n-k)!} \over {(n-k)!}}}
n
P
k
=
n
P
k
×
(
n
−
k
)
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {}_{n}P_{k}={{{}_{n}P_{k}\times (n-k)!} \over {(n-k)!}}}
∴
n
P
k
=
n
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle \therefore \;{}_{n}P_{k}={{n!} \over {(n-k)!}}}
k
=
n
,
{\displaystyle k=n\;,\;}
n
P
k
=
(
n
)
⋅
(
n
−
1
)
⋅
(
n
−
2
)
⋅
⋅
⋅
(
n
−
k
+
2
)
⋅
(
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle {}_{n}P_{k}=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot (n-k+2)\cdot (n-k+1)}
n
P
n
=
(
n
)
⋅
(
n
−
1
)
⋅
(
n
−
2
)
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
(
n
−
n
+
2
)
⋅
(
n
−
n
+
1
)
=
n
!
{\displaystyle {}_{n}P_{n}=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-n+2)\cdot (n-n+1)=n!}
n
P
n
=
n
!
(
n
−
n
)
!
{\displaystyle {}_{n}P_{n}={{n!} \over {(n-n)!}}}
n
P
n
=
n
!
0
!
{\displaystyle {}_{n}P_{n}={{n!} \over {0!}}}
0
!
=
n
!
n
P
n
{\displaystyle {0!}={{n!} \over {{}_{n}P_{n}}}}
∴
0
!
=
n
!
n
!
(
∵
n
P
n
=
n
!
)
{\displaystyle \therefore \;{0!}={{n!} \over {n!}}\;\;(\because \;{}_{n}P_{n}={n!})}
0
!
=
1
1
{\displaystyle {0!}={1 \over 1}}
0
!
=
1
{\displaystyle {0!}=1}
응용
계승 소수
관련 개념
소수 계승
음이 아닌 정수
n
{\displaystyle n}
의 소수 계승은
n
{\displaystyle n}
이하의 모든 소수 의 곱이다.
상승 계승과 하강 계승
역사
계승의 기본적인 개념은 n 개의 원소의 순열 의 개수로서 이미 12세기 인도 수학에 알려져 있었다.[1]
프랑스어 : factorielle 팍토리엘[* ] 이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가 (프랑스어 : Louis François Antoine Arbogast )가 사용하였다. 느낌표 표기법은 1808년 수학자 크리스티앙 크랑 (프랑스어 : Christian Kramp )이 저서 《보편 산술 원론》(프랑스어 : Éléments d’arithmétique universelle )[2] 에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 프랑스어 : faculté 파퀼테[* ] )라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다.
함께보기
참고 문헌
↑ Biggs, N. L. (1979). “The roots of combinatorics”. 《Historia Math.》 (영어) 6 : 109−136.
↑ Kramp, Christian (1808). 《Éléments d’arithmétique universelle》 (프랑스어). 쾰른 : De l’imprimerie de Th. F. Thiriart, et se vend chez Hansen.
외부 링크