직교군

군론에서, 직교군(直交群, 영어: orthogonal group)은 주어진 체에 대한 직교 행렬의 리 군이다.

정의

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위에 비퇴화 이차 형식

$Q\colon V\to K$

가 주어졌다고 하자. (만약 $K$의 표수가 2가 아니라면, 이는 $V$ 위의 대칭 비퇴화 쌍선형 형식과 같다.) 그렇다면, 직교군 $\operatorname {O} (V,Q)$는 $V$ 위의 가역 선형 변환들 가운데, $Q$를 보존하는 것들로 구성된 군이다.

$\operatorname {O} (V,Q)=\{M\in \operatorname {GL} (V)\colon Q(u)=Q(Mu)\forall u\in V\}$

이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 $K$에 대한 대수군이다. 또한, 만약 $K$가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 리 군을 이룬다.

만약 $V$가 $n$차원 벡터 공간이며, $Q$가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 $\operatorname {O} (n;K)$로 쓴다.

실베스터 관성 법칙에 의하여, 실수체 $K=\mathbb {R}$ 위의 비퇴화 이차 형식은 계량 부호수 $(p,q)$에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 $\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )$와 같이 쓴다.

특수직교군

직교군에서 2차 순환군으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$D\colon \operatorname {O} (n;K)\to \mathbb {Z} /2$

$D\colon M\mapsto \operatorname {rank} (1-M){\pmod {2}}$.

이 준동형을 딕슨 불변량(Dickson不變量, 영어: Dickson invariant)이라고 한다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면 이는 행렬식 $\det \colon \operatorname {O} (n;K)\to \{\pm 1\}$과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)

특수직교군(特殊直交群, 영어: special orthogonal group) $\operatorname {SO} (n;K)$는 딕슨 불변량의 핵이다.

$\operatorname {SO} (n;K)=\ker D=\operatorname {O} (n;K)/(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$.

즉, 딕슨 불변량이 0인 직교 행렬의 리 군이다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.

$1\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \operatorname {O} (n;K)\to \operatorname {SO} (n;K)\to 1$.

스핀 군과 핀 군

특수직교군 $\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )$에 대하여, 그렇다면 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군 $\operatorname {Spin} (n)$이 존재한다.

$1\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\to 1$.

이 리 군을 스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.

$n>2$일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 범피복 공간이다. ($n=2$일 경우는 물론 $\operatorname {SO} (2)=\operatorname {U} (1)$이고, 그 범피복 공간은 $\mathbb {R}$이다.)

마찬가지로, 직교군의 두 겹 피복군인 핀 군(영어: pin group)을 정의할 수 있다. 스핀 군과 핀 군은 다음과 같은 가환 그림을 만족시키며, 이 가환 그림에서 모든 행과 열은 짧은 완전열을 이룬다.

${\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\mathbb {Z} /2&=&\mathbb {Z} /2\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (n)&\to &\operatorname {Pin} (n)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\|\\1&\to &\operatorname {SO} (n)&\to &\operatorname {O} (n)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1\end{matrix}}$

직교 리 대수

실수체 또는 복소수체 위의 직교군은 리 군을 이루며, 이에 대응하는 리 대수를 정의할 수 있다. 이는 ${\mathfrak {so}}(n;K)$ 또는 ${\mathfrak {o}}(n;K)$와 같이 쓴다 ($K=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$).

${\mathfrak {so}}(n;\mathbb {R} )$는 $n\times n$ 정사각 실수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이며, ${\mathfrak {so}}(n;\mathbb {C} )$는 정사각 복소수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이다.

${\mathfrak {so}}(n;K)=\{M\in \operatorname {Mat} (n;K)\colon M^{\top }=-M\}$

스피너 노름

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$의 직교군 $\operatorname {O} (V,Q)$에 대하여, 스피너 노름(영어: spinor norm)은 다음과 같은 군 준동형이다.

$N\colon \operatorname {O} (V,Q)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}$

$N(R_{v})=1\qquad (Q(v)\neq 0)$

여기서 $R_{v}$는 $v\in V$에 대한 반사이며, 다음과 같이 정의된다.

$R_{v}\colon u\mapsto u-v{\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}}$

직교군의 모든 원소는 이와 같은 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

SO*(2n)

${\mathfrak {so}}(2n;\mathbb {C} )$은 다음과 같은 특수한 실수 형태를 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다.

우선, 체 $K$ 위의 $2n$차원 벡터 공간 $V$ 위에 심플렉틱 구조

$\Omega \colon V\otimes _{K}V\to V$

가 주어졌다고 하자. 적절한 기저에서 이는

$\Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}$

의 꼴이다. 그렇다면,

$\operatorname {GL} (V;K)$

위에 다음과 같은 조건을 가할 수 있다.

$\operatorname {O} ^{*}(V,\Omega )=\left\{M\in \operatorname {GL} (V;K)\colon \Omega (M^{\top }u,v)=\Omega (u,Mv)\qquad \forall u,v\in V\right\}$

즉, $\Omega$를 $2n\times 2n$ 행렬로 간주하였을 때, 다음 조건이다.

$M\Omega =\Omega M$

마찬가지로,

$\operatorname {SO} ^{*}(V,\Omega )=\operatorname {SL} (V)\cap \operatorname {O} ^{*}(V,\Omega )$

이다.

그렇다면, 실수 리 대수 ${\mathfrak {so}}^{*}(2n;\mathbb {R} )$는 ${\mathfrak {so}}(2n;\mathbb {C} )$의 실수 형태이다.

성질

군론적 성질

체 $K$에 대한 직교군의 중심은 다음과 같다.

$\operatorname {Z} (\operatorname {O} (n;K))=\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}$

만약 $K$의 표수가 2가 아니라면, 중심의 크기는 2이며, 만약 $K$의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때, 만약 $n$이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만, $n$이 홀수라면 그렇지 않다.

$\operatorname {Z} (\operatorname {SO} (n;K))={\begin{cases}\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}&2\mid n\\\{1_{n\times n}\}&2\nmid n\end{cases}}\qquad (\operatorname {char} K\neq 2)$

중심에 대하여 몫군을 취하면, 사영 직교군(영어: projective orthogonal group)

$\operatorname {PO} (n;K)=\operatorname {O} (n;K)/\operatorname {Z} (\operatorname {O} (n;K))$

을 얻는다.

마찬가지로, 스핀 군의 중심은 다음과 같다.

$\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n;\mathbb {C} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} /2&n\equiv 1,3{\pmod {4}}\\\mathbb {Z} /4&n\equiv 2{\pmod {4}}\\(\mathbb {Z} /2)^{\oplus 2}&n\equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}$

$\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q;\mathbb {R} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} /2&pq\not \equiv 0{\pmod {4}}\\\mathbb {Z} /4&pq\equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}$

리 이론적 성질

복소수 리 군 $\operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )$는 $n\neq 4$일 경우 단순 리 군이다. 단순 리 군의 분류에서, 이는 만약 $n=2k+1$이라면 $B_{k}$에, 만약 $n=2k$라면 $D_{k}$에 해당하며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

$B_{k}\colon \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \Rightarrow \bullet$

$D_{k}\colon \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \langle {\bullet \atop \bullet }$

$\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )$는 $\operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )$의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는 $\operatorname {SO} (k,k;\mathbb {R} )$이며, 홀수 차수에서는 $\operatorname {SO} (k+1,k;\mathbb {R} )$이다.

$\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )$의 극대 원환면은 다음과 같다.

${\begin{pmatrix}R_{1}&&0\\&\ddots \\0&&R_{k}\end{pmatrix}}$

여기서

$R_{i}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\end{pmatrix}}$

는 2×2 회전 행렬이다. $\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )$의 극대 원환면은 다음과 같다.

${\begin{pmatrix}R_{1}&&&0\\&\ddots \\&&R_{k}\\0&&&1\end{pmatrix}}$

$\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )$의 바일 군은 반직접곱

$\operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} ))\cong \{\pm 1\}^{k}\rtimes \operatorname {Sym} (k)$

이다. 여기서 $\epsilon =(\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{k})\in \{\pm 1\}^{k}$는

$\epsilon \colon \theta _{i}\mapsto \epsilon _{i}\theta _{i}$

와 같이 작용하며, 순열 $\sigma \in \operatorname {Sym} (k)$는

$\sigma \colon \theta _{i}\mapsto \theta _{\sigma (i)}$

와 같이 작용한다. 구체적으로, 바일 군에서 $(\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{k})\in \{\pm 1\}^{k}$의 원소는 블록 대각 행렬

$\operatorname {diag} \left(M(\epsilon _{1}),\dots ,M(\epsilon _{k}),\prod _{i=1}^{k}\epsilon _{k}\right)\in \operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )$

$M(+1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad M(-1)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

이며, $\operatorname {Sym} (k)$의 원소는 2×2 단위 행렬 블록의 $2k\times 2k$ 순열 행렬에 $(2k+1,2k+1)$번째 성분 +1을 추가한 행렬이다.

$\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )$의 바일 군은 반직접곱

$\operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))\cong \{\pm 1\}^{k-1}\rtimes \operatorname {Sym} (k)$

이다. 포함 관계

$\operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))<\operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} ))$

아래, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))\to \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )){\xrightarrow {\phi }}\{\pm 1\}\to 1$

이며, $\phi$는 다음과 같다.

$\phi \colon (\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{k},\sigma )\mapsto \prod _{i=1}^{k}\epsilon _{k}\in \{\pm 1\}$

위상수학적 성질

실수 직교군 $\operatorname {O} (n;\mathbb {R} )$은 $n(n-1)/2$차원의 리 군이며, 콤팩트 공간이다. 두 개의 연결 성분을 가지며, 이들은 각각 행렬식 $\det M=\pm 1$인 실수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 연결 공간인 실수 특수직교군 $\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )$를 이룬다.

복소수 직교군 $\operatorname {O} (n;\mathbb {C} )$은 복소수 $n(n-1)/2$차원(실수 $n(n-1)$차원)의 복소수 리 군이자 대수군이다. $n\geq 2$인 경우, 복소수 직교군은 콤팩트하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지며, 이는 각각 행렬식이 $\det M=\pm 1$인 복소수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군 $\operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )$를 이룬다.

실수 또는 복소수 특수직교군의 기본군은 다음과 같다.

$\pi _{1}(\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} ))\cong \pi _{1}(\operatorname {SO} (n;\mathbb {C} ))\cong {\begin{cases}1&n=1\\\mathbb {Z} &n=2\\\mathbb {Z} /2&n>2\end{cases}}$

이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면 $n=2$에서는 $\mathbb {R}$를, $n>2$에서는 스핀 군 $\operatorname {Spin} (n)$을 얻는다.

부정부호 실수 직교군 $\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )$ ($p,q>0$)는 네 개의 연결 성분을 가지며,

$\pi _{0}(\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} ))=(\mathbb {Z} /2)^{2}$

이다. 여기서 한 $\mathbb {Z} /2$는 $p$차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는 $q$차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다. $\operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )$는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우

$\pi _{0}(\operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} ))=\{(1,1),(-1,-1)\}\subset \pi _{0}(\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} ))$

이다. $\operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )$의 연결 부분군을 $\operatorname {SO} ^{+}(p,q;\mathbb {R} )$라고 한다.

부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.

$\pi _{1}(\operatorname {SO} ^{+}(p,q;\mathbb {R} ))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (p;\mathbb {R} ))\times \pi _{1}(\operatorname {SO} (q;\mathbb {R} ))$

보트 주기성

호프 올뭉치

$\operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}$

로 인하여, 만약 $i<n-1$이라면

$\pi _{i}(\operatorname {O} (n))\cong \pi _{i}(\operatorname {O} (n+1))$

이다.^:112 즉, 직교군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.^:113

$\pi _{i}(\operatorname {O} (n))={\begin{cases}0&i\equiv 2,4,5,6{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /2&i\equiv 0,1{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} &i\equiv 3,7{\pmod {8}}\end{cases}}\qquad (i<n-1)$

이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다. 불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

직교군	π0	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9
O(1)	ℤ/2	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0
O(2)	ℤ/2	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0
O(3)	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ	ℤ/2	ℤ/2	ℤ/12	ℤ/2	ℤ/2	ℤ/3
O(4)	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ2	(ℤ/2)2	(ℤ/2)2	(ℤ/12)2	(ℤ/2)2	(ℤ/2)2	(ℤ/3)2
O(5)	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ	0	0
O(6)	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	ℤ/24	ℤ/2

특수직교군 및 스핀 군의 호모토피 군은 다음과 같이 다르다.

$\pi _{i}(\operatorname {SO} (n))\cong {\begin{cases}0&i=0\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i>0\end{cases}}$

$\pi _{i}(\operatorname {Spin} (n))\cong {\begin{cases}0&i=0,1\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i>1\end{cases}}\qquad (n>2)$

$\pi _{i}(\operatorname {Pin} (n))\cong {\begin{cases}0&i=1\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i\neq 1\end{cases}}\qquad (n>2)$

다음과 같은 무한 직교군 $\operatorname {O} (\infty )$을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

$\operatorname {O} (\infty )=\varinjlim _{n}\operatorname {O} (n)$

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

$\pi _{i}(\operatorname {O} (\infty ))={\begin{cases}0&i\equiv 2,4,5,6{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /2&i\equiv 0,1{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} &i\equiv 3,7{\pmod {8}}\end{cases}}$

이에 따라, 무한 직교군은 스스로의 8차 고리 공간과 호모토피 동치이다.^{:112, Theorem 1}

$\operatorname {O} (\infty )\simeq \Omega ^{8}\operatorname {O} (\infty )$

무한 차원 분해 가능 실수 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$의 직교군 $\operatorname {O} ({\mathcal {H}})$는 $\operatorname {O} (\infty )$와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, $\operatorname {O} ({\mathcal {H}})$는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.

$\pi _{i}(\operatorname {O} ({\mathcal {H}}))=0\quad \forall i$

포함 관계

모든 $n$에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

• $\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {USp} (2n)$
• $\operatorname {SU} (n;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SO} (2n)$
• $\operatorname {SO} (n-1;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )$. 만약 $n$이 짝수인 경우, 이는 $\operatorname {SO} (n)$의 딘킨 도표를 $\mathbb {Z} /2$ 대칭을 따라 접은 것이다. 만약 $n$이 홀수인 경우, 이는 $\operatorname {SO} (n)$의 딘킨 도표에 $\scriptstyle \otimes$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, $\circ$로 표시한 꼭짓점을 제거한 것이다.

  $2\mid n\colon \qquad \overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{n/2-3}-\bullet \langle {\bullet \atop \bullet }\qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{n/2-3}-\bullet \Rightarrow \bullet$

  $2\nmid n\colon \qquad \bullet -\bullet -\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}\Rightarrow \circ \qquad \to \qquad \bullet -{\overset {\scriptstyle \otimes \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}\Rightarrow \circ \qquad \to \qquad \bullet -{\overset {\scriptstyle \otimes \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}$

• 만약

또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

$\operatorname {Spin} (3)\subset G_{2}$

$\operatorname {Spin} (9)\subset F_{4}$

$\operatorname {Spin} (10)\subset E_{6}$

$\operatorname {Spin} (12)\subset E_{7}$

$\operatorname {Spin} (16)\subset E_{8}$

6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)을 보인다.

1차원

$\operatorname {O} (1)\cong \operatorname {Spin} (1)\cong \mathbb {Z} /2$

$\operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {PSO} (1)\cong 1$

2차원

$\operatorname {SO} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \mathbb {S} ^{1}$

$\operatorname {SO} ^{+}(1,1;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R}$

3차원

$\operatorname {SO} (3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} (3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {PUSp} (2)\cong \mathbb {RP} ^{2}$

$\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {USp} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}$

$\operatorname {SO} (3;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSp} (2;\mathbb {C} )$

$\operatorname {SO} ^{+}(2,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )$

$\operatorname {Spin} ^{+}(2,1)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Sp} (2;\mathbb {R} )$

4차원

$\operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\cong \left(\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\right)/(\mathbb {Z} /2)$

$\operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}$

$\operatorname {PSO} (4;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2)\times \operatorname {PSU} (2)$

$\operatorname {PSO} (4;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )$

$\operatorname {SO} ^{+}(3,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SO} (3;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PGL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSp} (2;\mathbb {C} )$

5차원

$\operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} (5;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PUSp} (4)$

$\operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {USp} (4)$

$\operatorname {SO} ^{+}(3,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSp} (4;\mathbb {R} )$

6차원

$\operatorname {SO} (6)\cong \operatorname {SU} (4)/(\mathbb {Z} /2)$

$\operatorname {PSO} (6)\cong \operatorname {PSU} (4)$

$\operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)$

$\operatorname {SO} ^{+}(5,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} ^{+}(5,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {H} )$

$\operatorname {SO} ^{+}(4,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SU} (2,2)/(\mathbb {Z} /2)$

$\operatorname {PSO} ^{+}(4,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2,2)$

$\operatorname {SO} ^{+}(3,3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} ^{+}(3,3)\cong \operatorname {PSL} (4;\mathbb {R} )$

홀수 표수 유한체 위에서의 직교군

$\mathbb {F} _{q}$가 표수가 2가 아닌 유한체라고 하자. 이 경우, 주어진 차원의 벡터 공간 $\mathbb {F} _{q}^{n}$ 위의 비퇴화 이차 형식은 정확히 두 개의 동형류가 있다..

홀수 차원에서, 제곱수가 아닌 $\alpha \in \mathbb {F} _{q}$에 대하여 이 두 이차 형식은 서로 비례한다. 즉, 이 두 동형류는 $Q_{1}$과 $aQ_{1}$의 꼴이다 ($a\in \mathbb {F} _{q}$는 제곱수가 아닌 임의의 원소). 따라서 이 경우 직교군 $\operatorname {O} (2k+1;\mathbb {F} _{q})$은 유일하다. 반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, 플러스형과 마이너스형 두 종류로 분류된다. 비트 지표가 $n/2$인 것을 플러스형, $n/2-1$인 것을 마이너스형이라고 한다. 플러스형과 마이너스형에 대응하는 직교군들은 각각 $\operatorname {O} ^{\pm }(2k;\mathbb {F} _{q})$라고 쓴다.^:69–75

표수가 2가 아닌 유한체 $\mathbb {F} _{q}$ ($q=p^{k}$, $p$ 소수)의 직교군의 크기는 다음과 같다.^{:72, (3.30)–(3.32)}

$|\operatorname {O} (2n+1;\mathbb {F} _{q})|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$

$|\operatorname {O} ^{+}(2n;\mathbb {F} _{q})|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$

$|\operatorname {O} ^{-}(2n;\mathbb {F} _{q})|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$

표수 2에서의 직교군

표수가 2인 체 위의 직교군은 다음과 같은 특수한 성질을 보인다.

• 표수가 2인 완전체 위의 홀수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군과 같다.
• 표수가 2인 체 위의 짝수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군의 부분군이다.

구체적으로, 표수 2인 체 위의 이차 형식의 연관 대칭 쌍선형 형식은 교대 쌍선형 형식이므로, 이에 대응하는 심플렉틱 군의 부분군이다.

응용

직교군은 물리학에서 널리 응용된다. SO(3) 및 그 피복군 Spin(3)는 3차원 공간의 회전을 나타내며, 그 표현론은 양자역학에 핵심적이다.

특수 상대성 이론에서는 민코프스키 공간의 (중심을 고정시키는) 대칭군인 부정부호 직교군 O(3,1)이 핵심적인 역할을 하며, 이 군을 로런츠 군이라고 한다. 로런츠 군의 표현론은 상대론적 양자장론에서 핵심적이다. 더 시터르 공간 및 반 더 시터르 공간의 대칭군 역시 부정부호 직교군 O(4,1) 및 O(3,2)이다.

등각 장론에서, $(p,q)$-차원 시공간의 등각 대칭군은 $\operatorname {SO} (p+1,q+1)$이다. 이 대칭군이 반 더 시터르 공간의 대칭군과 같다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 핵심적인 역할을 한다.

이 밖에도, SO(10)은 대통일 이론의 게이지 군으로 쓰인다.

참고 문헌

• Grove, Larry C. (2002). 《Classical groups and geometric algebra》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 39. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2019-3. MR 1859189. 
• Taylor, Donald E. (1992). 《The geometry of the classical groups》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 9. Heldermann. ISBN 3-88538-009-9. MR 1189139. Zbl 0767.20001. 

외부 링크

• “Orthogonal group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Spinor group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Todd Rowland. “Orthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “GeneralOrthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Special Orthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective general orthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective special orthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Orthogonal group”. 《nLab》 (영어). 
• “Orthogonal group of an inner product space”. 《nLab》 (영어). 
• “Special orthogonal group”. 《nLab》 (영어). 
• “Spin group”. 《nLab》 (영어). 
• “Stable orthogonal group”. 《nLab》 (영어). 
• 이철희. “직교군과 직교리대수”. 《수학노트》. 
• Garrett, Paul (2015년 5월 7일). “Sporadic isogenies” (PDF) (영어). 
• “Orthogonal group for a symmetric bilinear form” (영어). 
• “Orthogonal group for the standard dot product” (영어). 
• “Special orthogonal group for the standard dot product” (영어). 
• “Split orthogonal group” (영어). 
• “Orthogonal similitude group for a symmetric bilinear form” (영어). 
• “Orthogonal similitude group for the standard dot product” (영어). 
• “Special orthogonal similitude group” (영어). 
• “Spinor norm”. 《Groupprops》 (영어). 

같이 보기

• 스핀 군
• 직교행렬
• 스피너
• 원군
• 3차원 직교군