절댓값

이 문서는 실수와 복소수의 표준적인 절댓값에 관한 것입니다. 추상대수학과 대수적 수론에서의 개념에 대해서는 절댓값 (대수학) 문서를 참고하십시오.

실수 절댓값 함수의 그래프

수학에서, 절댓값(絶對-, 영어: absolute value)은 실수가 실수선의 원점과, 복소수가 복소평면의 원점과 떨어진 거리를 나타내는 음이 아닌 실수이다. 이는 선형대수학의 노름과 추상대수학의 절댓값으로 확장시킬 수 있다.

정의

실수의 경우

실수선 위에서, 실수 -3과 실수 0 사이의 거리는 3이다.

실수 $x\in \mathbb {R}$의 절댓값 $|x|\in [0,\infty )$은 다음과 같이 정의된다.

$|x|={\sqrt {x^{2}}}={\begin{cases}x&x>0\\0&x=0\\-x&x<0\end{cases}}$

여기서

• $x^{2}$는 $x$의 제곱이다.
• ${\sqrt {x^{2}}}$는 $x^{2}$의 주 제곱근이다.
• $-x$는 $x$의 반수이다.

즉, 실수의 절댓값은 그 실수의 숫자 부분만 남겨두고 부호를 버려 얻는 음이 아닌 실수이다. 실수선 위에서 보면, 이는 실수와 0 사이의 거리와 같다.

복소수의 경우

복소평면 위에서, 복소수 z의 절댓값은 원점과의 거리 r와 같다. 모든 복소수 z의 절댓값과 그 켤레 복소수 —z의 절댓값은 서로 같다.

복소수 $z\in \mathbb {C}$의 절댓값 $|z|\in [0,\infty )$은 다음과 같이 정의된다.

$|z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {(\operatorname {Re} z)^{2}+(\operatorname {Im} z)^{2}}}$

여기서

• ${\bar {z}}$는 $z$의 켤레 복소수이다.
• $\operatorname {Re} z$는 $z$의 실수부이다.
• $\operatorname {Im} z$는 $z$의 허수부이다.

즉, 복소평면에 놓인 복소수의 절댓값은 그 복소수와 원점 사이의 거리를 피타고라스 정리를 사용하여 구한 것과 같다.

이는 실수의 절댓값의 정의와 호환된다. 모든 실수 $x\in \mathbb {R}$에 대하여, 이를 복소수로 여겼을 때, 그 켤레 복소수는 자기 자신과 같다. 즉,

${\bar {x}}=x$

이다. 따라서,

${\sqrt {x{\bar {x}}}}={\sqrt {xx}}={\sqrt {x^{2}}}$

이다. 즉, $x$의 실수로서의 절댓값과 복소수로서의 절댓값은 서로 같다. 다른 관점에서, 실수선은 복소평면의 좌표축으로 여길 수 있는데, 이 경우 실수와 원점 사이의 거리는 실수선에 국한되어서 보는지 복소평면에서 보는지와 무관하다. 따라서 실수의 절댓값은 복소수의 절댓값의 특수한 경우이다.

성질

실수를 $x,y,a$, (실수일 수도 아닐 수도 있는) 복소수를 $z,w$로 나타내자. 그렇다면, 절댓값의 성질을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

부등식

복소수의 절댓값은 0 이상이다.

$|z|\geq 0$

복소수의 절댓값은 양의 정부호성을 만족시킨다.

$|z|=0\iff z=0$

실수의 절댓값을 포함하는 몇 가지 실수 부등식의 해는 다음과 같다.

$|x|\leq a\iff -a\leq x\leq a$

$|x|<a\iff -a<x<a$

$|x|=a\iff {\begin{cases}x=\pm a&a\geq 0\\x\in \varnothing &a<0\end{cases}}$

$|x|>a\iff x>a\lor x<-a$

$|x|\geq a\iff x\geq a\lor x\leq -a$

복소수의 절댓값은 삼각 부등식을 만족시킨다.

$||z|-|w||\leq |z+w|\leq |z|+|w|$

항등식

복소수의 절댓값은 곱셈·나눗셈을 보존한다.

$|zw|=|z||w|$

$|z/w|=|z|/|w|\qquad (w\neq 0)$

복소수 절댓값 함수는 멱등 함수이며, 회전 대칭과 반사 대칭을 만족시킨다. 특히, 실수 절댓값 함수는 짝함수이다.

$||z||=|z|$

$|-z|=|z|$

$|{\bar {z}}|=|z|$

해석학적 성질

실수 절댓값 함수는 0이 아닌 모든 실수점에서 해석 함수이다. 복소수 절댓값 함수는 모든 복소수에서 연속 함수이지만, 모든 복소수점에서 비(非) 복소 미분 가능 함수이다.

참고 문헌

• Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1
• O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Jean Robert Argand”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교. 
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259–263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8