절댓값: 두 판 사이의 차이
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{{다른 뜻|절댓값 (대수학)|실수와 복소수의 표준적인 절댓값|[[추상대수학]]과 [[대수적 수론]]에서의 개념}} |
{{다른 뜻|절댓값 (대수학)|실수와 복소수의 표준적인 절댓값|[[추상대수학]]과 [[대수적 수론]]에서의 개념}} |
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[[수학]]에서 '''절댓값'''(絶對-, {{llang|en|absolute value}})이란, 어떤 [[실수]] a를 [[수직선]]에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 a까지의 거리를 의미한다. 이것을 기호로 <math>|a|</math>로 나타낸다. |
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[[수학]]에서, '''절댓값'''(絶對-, {{llang|en|absolute value}})은 [[실수]]가 [[실수선]]의 [[원점]]과, [[복소수]]가 [[복소평면]]의 원점과 떨어진 거리를 나타내는 음이 아닌 실수이다. 이는 [[선형대수학]]의 [[노름]]과 [[추상대수학]]의 [[절댓값 (대수학)|절댓값]]으로 확장시킬 수 있다. |
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절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화시켜야한다. |
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=== 실수의 경우 === |
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[[파일:AbsoluteValueDiagram.svg|섬네일|실수선 위에서, 실수 -3과 실수 0 사이의 거리는 3이다.]] |
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:<math>|x|=\sqrt{x^2}=\begin{cases}x&x>0\\0&x=0\\-x&x<0\end{cases}</math> |
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여기서 |
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* <math>x^2</math>는 <math>x</math>의 [[제곱]]이다. |
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* <math>\sqrt{x^2}</math>는 <math>x^2</math>의 [[주 제곱근]]이다. |
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* <math>-x</math>는 <math>x</math>의 [[반수 (수학)|반수]]이다. |
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즉, 실수의 절댓값은 그 실수의 숫자 부분만 남겨두고 부호를 버려 얻는 음이 아닌 실수이다. [[실수선]] 위에서 보면, 이는 실수와 0 사이의 거리와 같다. |
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=== 복소수의 경우 === |
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그리고 [[복소수]], [[사원수]], [[벡터 (선형대수학)|벡터]] 등에 대해서도 절댓값을 일반화시킬 수 있다. |
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[[파일:Complex_conjugate_picture.svg|섬네일|복소평면 위에서, 복소수 ''z''의 절댓값은 원점과의 거리 ''r''와 같다. 모든 복소수 ''z''의 절댓값과 그 켤레 복소수 {{overset|—|''z''}}의 절댓값은 서로 같다.]] |
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[[복소수]] <math>z\in\mathbb C</math>의 절댓값 <math>|z|\in[0,\infty)</math>은 다음과 같이 정의된다. |
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:<math>|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{(\operatorname{Re}z)^2+(\operatorname{Im}z)^2}</math> |
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* <math>\bar z</math>는 <math>z</math>의 [[켤레 복소수]]이다. |
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* <math>\operatorname{Re}z</math>는 <math>z</math>의 [[실수부]]이다. |
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* <math>\operatorname{Im}z</math>는 <math>z</math>의 [[허수부]]이다. |
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즉, [[복소평면]]에 놓인 복소수의 절댓값은 그 복소수와 원점 사이의 거리를 [[피타고라스 정리]]를 사용하여 구한 것과 같다. |
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이는 실수의 절댓값의 정의와 호환된다. 모든 실수 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, 이를 복소수로 여겼을 때, 그 켤레 복소수는 자기 자신과 같다. 즉, |
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이다. 따라서, |
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어떠한 [[실수]] a의 절댓값은 <math>|a| \,</math>로 표기하며, 다음과 같이 정의된다. |
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:<math> |
:<math>\sqrt{x\bar x}=\sqrt{xx}=\sqrt{x^2}</math> |
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이다. 즉, <math>x</math>의 실수로서의 절댓값과 복소수로서의 절댓값은 서로 같다. 다른 관점에서, 실수선은 복소평면의 좌표축으로 여길 수 있는데, 이 경우 실수와 원점 사이의 거리는 실수선에 국한되어서 보는지 복소평면에서 보는지와 무관하다. 따라서 실수의 절댓값은 복소수의 절댓값의 특수한 경우이다. |
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정의에 따라, 이 값은 거리이므로 항상 [[0]] 이상이다. 따라서 절댓값이 가장 작은 수는 [[0]]이다. 그리고 다음의 정리들이 성립한다. |
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실수를 <math>x,y,a</math>, (실수일 수도 아닐 수도 있는) 복소수를 <math>z,w</math>로 나타내자. 그렇다면, 절댓값의 성질을 다음과 같이 나타낼 수 있다. |
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=== 부등식 === |
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복소수의 절댓값은 0 이상이다. |
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복소수의 절댓값은 [[양의 정부호성]]을 만족시킨다. |
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실수의 절댓값을 포함하는 몇 가지 실수 부등식의 해는 다음과 같다. |
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:<math>|x|=a\iff\begin{cases}x=\pm a&a\ge0\\x\in\varnothing&a<0\end{cases}</math> |
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복소수의 절댓값은 [[삼각 부등식]]을 만족시킨다. |
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=== 항등식 === |
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복소수의 절댓값은 곱셈·나눗셈은 교환 가능하다. |
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:<math>| |
:<math>|zw|=|z||w|</math> |
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:<math>| |
:<math>|z/w|=|z|/|w|\qquad(w\ne0)</math> |
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복소수 절댓값 함수는 [[멱등 함수|멱등]] [[짝함수]]이다. |
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=== 해석학적 성질 === |
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:<math>|-a| = |a|\,</math> (대칭성) |
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실수 절댓값 함수는 0이 아닌 모든 실수점에서 [[해석 함수]]이다. 복소수 절댓값 함수는 모든 복소수에서 [[연속 함수]]이지만, 모든 복소수점에서 비(非) [[복소 미분 가능 함수]]이다. |
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:<math>|a - b| = 0 \iff a = b </math> |
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:<math>|a - b| \le |a - c| +|c - b| </math> (삼각부등식) |
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:<math>\left|{a\over b} \right| = {|a| \over |b|} \mbox{ (if } b \ne 0) \,</math> |
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:<math>(|a|)^2 =(|a|)^2, (|-a|)^2 = \left( \sqrt{a^2} \right)^2 = a^2 \;(\because |a| = \sqrt{a^2} \;,\; |-a| = |a|\,)</math> |
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:<math>|a^2| = \sqrt{ \left( a^2 \right)^2} </math> |
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또한, 다음 식은 유용하게 사용된다. |
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이 식을 이용하면 절댓값이 들어간 부등식을 쉽게 풀 수 있다. |
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:<math>\iff -9 \le x-3 \le 9 </math> |
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== 복소수 == |
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[[복소수]]중에서는 값들의 크기 비교가 불가능한 경우가 있기 때문에<ref>복소수에도 임의의 순서를 줄 순 있지만, 그렇게 정의한 절댓값은 직관적으로 말하는 크기와 대부분 상반된다.</ref>, 실수에서의 정의를 쓸 수 없다. 대신, 앞에서의 성질 중 하나인 |
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를 이용할 수 있다. |
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임의의 복소수 |
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:<math>|z| := \sqrt{x^2 + y^2}.</math> |
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이렇게 정의하면, 앞의 절댓값의 성질이 모두 성립하며, 특히 이 정의는 z가 실수일 때에도 성립하게 된다. |
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:<math> |x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.</math> |
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이때 [[피타고라스의 정리]]에 따라 절댓값은 [[원점]]과 복소수 사이의 거리를 의미하게 된다. 더 일반적으로, 두 복소수 사이의 거리는 복소수의 차의 절댓값이 된다. |
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{{각주}} |
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* Nahin, Paul J.; [http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 ''An Imaginary Tale'']; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1 |
* Nahin, Paul J.; [http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 ''An Imaginary Tale'']; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1 |
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* {{MacTutor|id=Argand|title=Jean Robert Argand}} |
* {{MacTutor|id=Argand|title=Jean Robert Argand}} |
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{{토막글|수학}} |
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[[분류:노름]] |
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[[분류:특수 함수]] |
[[분류:특수 함수]] |
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[[분류:실수]] |
[[분류:실수]] |
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[[분류: |
[[분류:복소수]] |
2017년 12월 25일 (월) 04:53 판
수학에서, 절댓값(絶對-, 영어: absolute value)은 실수가 실수선의 원점과, 복소수가 복소평면의 원점과 떨어진 거리를 나타내는 음이 아닌 실수이다. 이는 선형대수학의 노름과 추상대수학의 절댓값으로 확장시킬 수 있다.
정의
실수의 경우
실수 의 절댓값 은 다음과 같이 정의된다.
여기서
즉, 실수의 절댓값은 그 실수의 숫자 부분만 남겨두고 부호를 버려 얻는 음이 아닌 실수이다. 실수선 위에서 보면, 이는 실수와 0 사이의 거리와 같다.
복소수의 경우
복소수 의 절댓값 은 다음과 같이 정의된다.
여기서
즉, 복소평면에 놓인 복소수의 절댓값은 그 복소수와 원점 사이의 거리를 피타고라스 정리를 사용하여 구한 것과 같다.
이는 실수의 절댓값의 정의와 호환된다. 모든 실수 에 대하여, 이를 복소수로 여겼을 때, 그 켤레 복소수는 자기 자신과 같다. 즉,
이다. 따라서,
이다. 즉, 의 실수로서의 절댓값과 복소수로서의 절댓값은 서로 같다. 다른 관점에서, 실수선은 복소평면의 좌표축으로 여길 수 있는데, 이 경우 실수와 원점 사이의 거리는 실수선에 국한되어서 보는지 복소평면에서 보는지와 무관하다. 따라서 실수의 절댓값은 복소수의 절댓값의 특수한 경우이다.
성질
실수를 , (실수일 수도 아닐 수도 있는) 복소수를 로 나타내자. 그렇다면, 절댓값의 성질을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
부등식
복소수의 절댓값은 0 이상이다.
복소수의 절댓값은 양의 정부호성을 만족시킨다.
실수의 절댓값을 포함하는 몇 가지 실수 부등식의 해는 다음과 같다.
복소수의 절댓값은 삼각 부등식을 만족시킨다.
항등식
복소수의 절댓값은 곱셈·나눗셈은 교환 가능하다.
해석학적 성질
실수 절댓값 함수는 0이 아닌 모든 실수점에서 해석 함수이다. 복소수 절댓값 함수는 모든 복소수에서 연속 함수이지만, 모든 복소수점에서 비(非) 복소 미분 가능 함수이다.
참고 문헌
- Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1
- O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Jean Robert Argand”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.
- Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259–263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8
이 글은 수학에 관한 토막글입니다. 여러분의 지식으로 알차게 문서를 완성해 갑시다. |