단위행렬

선형대수학에서 행렬의 크기가 $n$인 단위행렬(單位行列,identity matrix)은 주 대각선이 전부 1이고 나머지 원소는 0을 값으로 갖는 $n\times n$ 정사각행렬이다. 크기가 $n$인 단위행렬은 보통 $I_{n}$으로 표기하지만, 그 크기가 문맥상 자명하게 유추 가능한 경우 생략하여 $I$로 쓰기도 한다. 또는 $E$(독일어: Einheitsmatrix)나 $U$(unit matrix)로 표기하기도 한다.

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\;I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\;I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\;I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

성질

$I_{n}$의 가장 중요한 성질로는 다음의 것이 있다.

$AI_{n}=A$   이고   $I_{n}B=B$이다.

$AI_{n}=A=I_{n}A=A$이다.

• 단위행렬은 행렬에서 곱셈의 항등원이다.
• 곱셈에대해서 교환법칙이 성립한다.
• 특수한 대각행렬이다.
• 특수한 이진행렬이다.

이런 성질 때문에 단위행렬은 $n\times n$ 행렬로 이루어진 환의 단위 역할을 한다. 또한 $n\times n$ 크기의 가역행렬로 이루어진 군의 항등원이기도 하다. (단위행렬은 자기 자신이 자신의 역원이므로 당연히 가역행렬임을 알 수 있다.)

차원과 거듭제곱

또한 $n\times n$ 정사각행렬을 $n$차원 벡터 공간에서 자기 자신으로 가는 선형 변환으로 보면, $I_{n}$은 그 기저와 관계없이 항등함수임을 알 수 있다.

단위행렬의 $i$번째 열은 단위벡터 $e_{i}$가 된다. 단위벡터는 또한 단위행렬의 고유벡터이며 각각의 고윳값은 1이다. 이 고윳값 1은 유일한 고윳값이며, 중복도는 $n$이다. 이로부터 단위행렬의 행렬식은 1이고 대각합은 $n$임을 알 수 있다.

단위행렬 자신의 거듭제곱은 자기자신이다.

거듭제곱 $m$차 에서,

$I^{m}=I$이고,

$m=n$일때,

$I_{n}^{m}=I_{n}=I=1^{n}=1$ 이다.

주대각 이진 희소행렬

주대각선에서 이진 행렬인 희소행렬은 단위행렬을 포함하지만 영행렬로 진행하는 유사 단위행렬 또는 분할된 단위행렬을 보여준다.

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\;,\;{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\;,\;{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

분할 단위행렬

단위행렬을 분할하고,

$I={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

$I^{a}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\;\;,\;\;I^{b}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ 을 예약하면,

$A={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{pmatrix}}$에서,

$AI^{a}={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&0&0&0\\3&0&0&0\\3&0&0&0\end{pmatrix}}$

$AI^{b}={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&2&2\\0&1&2&2\\0&3&4&4\\0&3&4&4\end{pmatrix}}$

$AI^{a}+AI^{b}=A(I^{a}+I^{b})=AI=A$

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&0&0&0\\3&0&0&0\\3&0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1&2&2\\0&1&2&2\\0&3&4&4\\0&3&4&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{pmatrix}}$

함께보기

• 역행렬
• 영행렬
• 케일리-해밀턴 정리
• 이진 행렬
• 쉬프트 행렬

참고 문헌

• (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/IdentityMatrix.html
• Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8.