|
|
35번째 줄: |
35번째 줄: |
|
* <math>\prod_{i\in I}\bigcup_{j\in J}A_{ij}\supseteq\bigcup_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij}</math> |
|
* <math>\prod_{i\in I}\bigcup_{j\in J}A_{ij}\supseteq\bigcup_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij}</math> |
|
* <math>\prod_{i\in I}\bigcap_{j\in J}A_{ij}=\bigcap_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij}</math> |
|
* <math>\prod_{i\in I}\bigcap_{j\in J}A_{ij}=\bigcap_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij}</math> |
|
* 다음 두 조건이 서로 동치이다. ([[선택 공리]]가 필요하며, 유한 곱집합의 경우 필요하지 않다.) |
|
* 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 [[선택 공리]]가 필요하다.) |
|
** <math>\prod_{i\in I}A_i\subseteq\prod_{i\in I}B_i</math> |
|
** <math>\prod_{i\in I}A_i\subseteq\prod_{i\in I}B_i</math> |
|
** <math>A_i=\varnothing</math>인 <math>i\in I</math>가 존재하거나, 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>A_i\subseteq B_i</math>이다. |
|
** <math>A_i=\varnothing</math>인 <math>i\in I</math>가 존재하거나, 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>A_i\subseteq B_i</math>이다. |
|
* 다음 두 조건이 서로 동치이다. ([[선택 공리]]가 필요하며, 유한 곱집합의 경우 필요하지 않다.) |
|
* 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 [[선택 공리]]가 필요하다.) |
|
** <math>\prod_{i\in I}A_i=\varnothing</math> |
|
** <math>\prod_{i\in I}A_i=\varnothing</math> |
|
** <math>A_i=\varnothing</math>인 <math>i\in I</math>가 존재한다. |
|
** <math>A_i=\varnothing</math>인 <math>i\in I</math>가 존재한다. |
2017년 9월 30일 (토) 07:13 판
집합론에서, 곱집합(곱集合, 영어: product set) 또는 데카르트 곱(Descartes곱, 영어: Cartesian product 카티지언 프로덕트[*])는 각 집합의 원소를 각 성분으로 하는 튜플들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합 의 곱집합 는 다음과 같다.
곱집합은 집합의 다양체에서의 직접곱이며, 집합의 범주에서의 곱이다.
정의
첨수된 집합족 의 곱집합 는 다음과 같다.
특히, 유한 개의 집합 의 곱집합 은 다음과 같다.
집합 에 대하여, 의 번 곱집합 는 다음과 같다.
특히, 집합 와 순서수 에 대하여, 의 번 곱집합 는 다음과 같다.
특히, 집합 및 음이 아닌 정수 에 대하여, 의 번 곱집합 은 다음과 같다.
성질
- (기수의 곱의 정의)
- (기수의 거듭제곱의 정의)
- (교환 법칙의 실패)
- 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 가 존재한다.
- (결합 법칙의 실패)
- 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 가 존재한다.
- (분배 법칙)
- (분배 법칙)
- (분배 법칙)
- 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
- 인 가 존재하거나, 임의의 에 대하여 이다.
- 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)
- 인 가 존재한다.
- 곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다.
- (보편 성질) 임의의 첨수된 함수족 에 대하여, ()를 만족시키는 유일한 함수 가 존재한다.
예
역사
르네 데카르트의 이름을 땄다.
외부 링크