극한 (범주론)

수학의 한 분야인 범주론에서 극한(極限, 영어: limit)은 수학의 여러 분야에서 사용되는 보편적 구조물들(예로서 곱이나 역극한 등)이 갖는 공통된 성질을 보존하며 일반화시킨 추상적인 개념이다. 그 쌍대 개념인 쌍대극한(雙對極限, 영어: colimit)은 서로소 합집합이나 직합 등의 일반화이다. 극한과 쌍대극한은 보편 사상 및 수반 함자 등의 범주론적 개념과 밀접한 연관이 있다.

정의

$J$와 $C$가 범주이고 $F\colon J\to C$가 함자이며 $N$이 $C$의 대상이라 하자. 이때 함자 $F$의 뿔(영어: cone)이란 $J$의 임의의 대상 $X$에 대해 다음을 만족하는 $N$과 사상 $\psi _{X}\colon N\to F(X)$이다:

• $J$의 임의의 사상 $f\colon X\to Y$에 대해 $F(f)\circ \psi _{X}=\psi _{Y}$.

함자의 극한이란 한마디로 보편뿔(영어: universal cone)이다. 구체적으로 말해, $F$의 뿔 $(L,\phi _{X})$이 $F$의 극한이라는 것은 $F$의 임의의 뿔 $(N,\psi _{X})$에 대해 유일한 사상 $u\colon L\to N$이 존재해서 모든 $X$에 대해 $\phi _{X}\circ u=\psi _{X}$을 만족시키는 경우를 말한다. 이를 두고 사상 $\psi _{X}$들이 $L$을 통해 $u$로 유일하게 분해된다고 말할 수도 있다.

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Inductive limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Projective limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “System (in a category)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Limit”. 《nLab》 (영어). 
• “Colimit”. 《nLab》 (영어).