스칼라곱

내적공간의 내적 연산자를 스칼라 곱으로 부르기도 한다.

스칼라 곱(scalar product, dot product)은 두 벡터로 스칼라를 계산하는 이항연산이다. 스칼라 곱을 사용하는 모든 유클리드 공간은 내적공간이다.

두 벡터 a = [a₁, a₂, … , a_n], b = [b₁, b₂, … , b_n]의 스칼라 곱은 다음과 같다:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

예를 들어, 두 벡터 [1, 3, −2], [4, −2, −1]의 스칼라 곱은

[1, 3, −2]·[4, −2, −1] = 1×4 + 3×(−2) + (−2)×(−1) = 0.

이 된다.

또한

A·B = |A| * |B| cosθ

로도 표현하는데 이는 벡터 A에 벡터 B를 투영한 형태 즉 벡터 B를 벡터 A와 동일한 방향의 성분으로 변환하여 그 스칼라값을 벡터 A의 스칼라 값에 곱하는 것이라 할 수 있다. 이때 벡터 A와 벡터 B의 사이각인 θ가 90˚ 즉 직교하는 경우는 결과가 "0"이 되며 0˚인 경우 즉 같은 방향인 경우에 최대값이 된다. 물론 결과값은 벡터가 아닌 스칼라 값이다.

위와 같은 내적의 성질을 응용하는 기하학적 계산을 대수학적인 계산으로 변환 처리할 경우에 이용이 되고 있다. 특히 프로그래밍에서 스칼라 곱은 두 벡터 사이의 각을 구하는 데 빈번히 사용되고 있다.

내적이란 병신이 먹는 하나의 치유를 의미 하기도 한다. 이것은 세상에 있는 하나의 사과를 뜻 한다는 것을 말하는 것인다. 한자에서 알수 있듯이 자기 자신의 적에 대한 통찰에 나온 이 말을 이해하기 위해서는 노통의 적의 화장법을 읽어 본다면 알수 있다고 하겠다. 원에서의 통찰을 바탕을 둔 이 내적은 외적을 막을 수 있는 실마리를 제공해 준다는 점에서 간과할 수 없다는 점이 이미 여러 분야에서 알려져 있다. 간디는 생전에 이 것을 이해하기 위해 자신의 애인에게 채찍질을 시킴으로서 해탈에 가까이 갔다는 사실은 널리 알려져 있다.