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==주대각 이진 희소행렬==
==주대각 이진 희소행렬==
[[주대각선]]에서 [[이진 행렬]]인 [[희소행렬]]은 단위행렬을 포함하지만 쇠퇴되는 유사 단위행렬도 보여준다.
[[주대각선]]에서 [[이진 행렬]]인 [[희소행렬]]은 단위행렬을 포함하지만 쇠퇴되는 유사 단위행렬 또는 분할된 단위행렬을 보여준다.
:<math>
:<math>
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2017년 8월 18일 (금) 18:53 판
선형대수학 에서 행렬 의 크기가
n
{\displaystyle n}
인 단위행렬 (單位行列,identity matrix)은 주 대각선 이 전부 1이고 나머지 원소는 0을 값으로 갖는
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각행렬 이다. 크기가
n
{\displaystyle n}
인 단위행렬은 보통
I
n
{\displaystyle I_{n}}
으로 표기하지만, 그 크기가 문맥상 자명하게 유추 가능한 경우 생략하여
I
{\displaystyle I}
로 쓰기도 한다. 또는
E
{\displaystyle E}
(독일어 : Einheitsmatrix )나
U
{\displaystyle U}
(unit matrix)로 표기하기도 한다.
I
1
=
[
1
]
,
I
2
=
[
1
0
0
1
]
,
I
3
=
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
,
⋯
,
I
n
=
[
1
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
1
]
{\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\;I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\;I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\;I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}
성질
I
n
{\displaystyle I_{n}}
의 가장 중요한 성질로는 다음의 것이 있다.
A
I
n
=
A
{\displaystyle AI_{n}=A}
이고
I
n
B
=
B
{\displaystyle I_{n}B=B}
이다.
A
I
n
=
A
=
I
n
A
=
A
{\displaystyle AI_{n}=A=I_{n}A=A}
이다.
이런 성질 때문에 단위행렬은
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
행렬로 이루어진 환 의 단위 역할을 한다. 또한
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
크기의 가역행렬 로 이루어진 군 의 항등원 이기도 하다. (단위행렬은 자기 자신이 자신의 역원이므로 당연히 가역행렬임을 알 수 있다.)
차원과 거듭제곱
또한
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각행렬을
n
{\displaystyle n}
차원 벡터 공간 에서 자기 자신으로 가는 선형 변환 으로 보면,
I
n
{\displaystyle I_{n}}
은 그 기저 와 관계없이 항등함수 임을 알 수 있다.
단위행렬의
i
{\displaystyle i}
번째 열은 단위벡터
e
i
{\displaystyle e_{i}}
가 된다. 단위벡터는 또한 단위행렬의 고유벡터 이며 각각의 고윳값 은 1이다. 이 고윳값 1은 유일한 고윳값이며, 중복도는
n
{\displaystyle n}
이다. 이로부터 단위행렬의 행렬식 은 1이고 대각합 은
n
{\displaystyle n}
임을 알 수 있다.
단위행렬 자신의 거듭제곱은 자기자신이다.[1] [2]
거듭제곱
m
{\displaystyle m}
차 에서,
I
m
=
I
{\displaystyle I^{m}=I}
이고,
m
=
n
{\displaystyle m=n}
일때,
I
n
m
=
I
n
=
I
=
1
n
=
1
{\displaystyle I_{n}^{m}=I_{n}=I=1^{n}=1}
이다.
주대각 이진 희소행렬
주대각선 에서 이진 행렬 인 희소행렬 은 단위행렬을 포함하지만 쇠퇴되는 유사 단위행렬 또는 분할된 단위행렬을 보여준다.
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
,
(
1
0
0
0
1
0
0
0
0
)
,
(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\;,\;{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\;,\;{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}
분할 단위행렬
단위행렬을 분할하고,
I
=
(
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
=
(
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
+
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
=
(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
+
(
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
I
a
=
(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
,
I
b
=
(
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle I^{a}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\;\;,\;\;I^{b}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
을 예약하면,
A
=
(
1
1
2
2
1
1
2
2
3
3
4
4
3
3
4
4
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{pmatrix}}}
에서,
A
I
a
=
(
1
1
2
2
1
1
2
2
3
3
4
4
3
3
4
4
)
(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
3
0
0
0
3
0
0
0
)
{\displaystyle AI^{a}={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&0&0&0\\3&0&0&0\\3&0&0&0\end{pmatrix}}}
A
I
b
=
(
1
1
2
2
1
1
2
2
3
3
4
4
3
3
4
4
)
(
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
=
(
0
1
2
2
0
1
2
2
0
3
4
4
0
3
4
4
)
{\displaystyle AI^{b}={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&2&2\\0&1&2&2\\0&3&4&4\\0&3&4&4\end{pmatrix}}}
A
I
a
+
A
I
b
=
A
(
I
a
+
I
b
)
=
A
I
=
A
{\displaystyle AI^{a}+AI^{b}=A(I^{a}+I^{b})=AI=A}
(
1
0
0
0
1
0
0
0
3
0
0
0
3
0
0
0
)
+
(
0
1
2
2
0
1
2
2
0
3
4
4
0
3
4
4
)
=
(
1
1
2
2
1
1
2
2
3
3
4
4
3
3
4
4
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&0&0&0\\3&0&0&0\\3&0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1&2&2\\0&1&2&2\\0&3&4&4\\0&3&4&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{pmatrix}}}
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참조