단위행렬: 두 판 사이의 차이
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<math>I_n</math>의 가장 중요한 성질로는 다음의 것이 있다. |
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이런 성질 때문에 단위행렬은 <math>n \times n</math> 행렬로 이루어진 [[환 (수학)|환]]의 '''단위''' 역할을 한다. 또한 <math>n \times n</math> 크기의 [[가역행렬]]로 이루어진 [[군 (수학)|군]]의 [[항등원]]이기도 하다. (단위행렬은 자기 자신이 자신의 역원이므로 당연히 가역행렬임을 알 수 있다.) |
이런 성질 때문에 단위행렬은 <math>n \times n</math> 행렬로 이루어진 [[환 (수학)|환]]의 '''단위''' 역할을 한다. 또한 <math>n \times n</math> 크기의 [[가역행렬]]로 이루어진 [[군 (수학)|군]]의 [[항등원]]이기도 하다. (단위행렬은 자기 자신이 자신의 역원이므로 당연히 가역행렬임을 알 수 있다.) |
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==차원과 거듭제곱== |
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또한 <math>n \times n</math> |
또한 <math>n \times n</math> 정사각행렬을 <math>n</math>차원 [[벡터 공간]]에서 자기 자신으로 가는 [[선형 변환]]으로 보면, <math>I_n</math>은 그 [[기저 (선형대수학)|기저]]와 관계없이 [[항등함수]]임을 알 수 있다. |
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단위행렬의 <math>i</math>번째 열은 [[단위벡터]] ''<math>e_i</math>''가 된다. 단위벡터는 또한 단위행렬의 [[고유벡터]]이며 각각의 [[고윳값]]은 1이다. 이 고윳값 1은 유일한 고윳값이며, 중복도는 <math>n</math>이다. 이로부터 단위행렬의 [[행렬식]]은 1이고 [[대각합]]은 <math>n</math>임을 알 수 있다. |
단위행렬의 <math>i</math>번째 열은 [[단위벡터]] ''<math>e_i</math>''가 된다. 단위벡터는 또한 단위행렬의 [[고유벡터]]이며 각각의 [[고윳값]]은 1이다. 이 고윳값 1은 유일한 고윳값이며, 중복도는 <math>n</math>이다. 이로부터 단위행렬의 [[행렬식]]은 1이고 [[대각합]]은 <math>n</math>임을 알 수 있다. |
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단위행렬 자신의 거듭제곱은 자기자신이다.<ref>https://math.stackexchange.com/questions/1431358/how-to-find-the-terms-in-n-th-power-of-this-matrix</ref><ref>http://www.qc.edu.hk/math/Teaching_Learning/Nth%20power%20of%20a%20square%20matrix.pdf</ref> |
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:거듭제곱 <math>m</math>차 에서, |
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:<math>m = n</math>일때, |
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:<math>I_n^m = I_n=I= n</math> 이다. |
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==함께보기== |
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*[[역행렬]] |
*[[역행렬]] |
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* [[영행렬]] |
* [[영행렬]] |
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*[[케일리-해밀턴 정리]] |
*[[케일리-해밀턴 정리]] |
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*[[이진 행렬]] |
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*[[시프트 행렬|쉬프트 행렬]] |
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== 참조 == |
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{{주석}} |
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[[분류:선형대수학]] |
[[분류:선형대수학]] |
2017년 8월 15일 (화) 21:24 판
이 문서의 내용은 출처가 분명하지 않습니다. (2014년 1월) |
선형대수학에서 행렬의 크기가 인 단위행렬(單位行列,identity matrix)은 주 대각선이 전부 1이고 나머지 원소는 0을 값으로 갖는 정사각행렬이다. 크기가 인 단위행렬은 보통 으로 표기하지만, 그 크기가 문맥상 자명하게 유추 가능한 경우 생략하여 로 쓰기도 한다. 또는 (독일어: Einheitsmatrix)나 (unit matrix)로 표기하기도 한다.
성질
의 가장 중요한 성질로는 다음의 것이 있다.
- 이고 이다.
- 이다.
이런 성질 때문에 단위행렬은 행렬로 이루어진 환의 단위 역할을 한다. 또한 크기의 가역행렬로 이루어진 군의 항등원이기도 하다. (단위행렬은 자기 자신이 자신의 역원이므로 당연히 가역행렬임을 알 수 있다.)
차원과 거듭제곱
또한 정사각행렬을 차원 벡터 공간에서 자기 자신으로 가는 선형 변환으로 보면, 은 그 기저와 관계없이 항등함수임을 알 수 있다.
단위행렬의 번째 열은 단위벡터 가 된다. 단위벡터는 또한 단위행렬의 고유벡터이며 각각의 고윳값은 1이다. 이 고윳값 1은 유일한 고윳값이며, 중복도는 이다. 이로부터 단위행렬의 행렬식은 1이고 대각합은 임을 알 수 있다.
- 거듭제곱 차 에서,
- 이고,
- 일때,
- 이다.