계승

수학에서, 계승(階乘, 영어: factorial 팩토리얼^[*], 문화어: 차례곱)은 1부터 $n$까지의 연속된 자연수를 차례로 곱한 값이다. 기호로는 $n!$과 같이 느낌표(!)를 사용하며, 이는 한국에서 간혹 "팩토리얼(줄여서 팩)"로 읽는 경우가 있다. 이를테면 3!은 "3팩(토리얼)"이 된다.

정의

계승 함수는 아래와 같이 형식적으로 정의한다.

$n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{for all }}n\geq 0\!$

예를 들면,

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

따라서,

$5!=5\times 4\times 3!=120$

$5!={}_{5}P_{2}\times 3!=120$

$5!={}_{5}P_{2}\times (n-2)!=120$

$5!=5\times 4\times 3\times 2!=120$

$5!={}_{5}P_{3}\times (n-3)!=120$

따라서,

$n!={}_{n}P_{k}\cdot (n-k)!$

${}_{n}P_{k}={n! \over (n-k)!}$

또한 0에 대해서는

$0!=1\$

로 정의한다. 이 정의는 다음과 같은 이유에서 매우 유용하다.

• 계승의 점화식 (n + 1)! = n! × (n + 1) 이 n = 0 일 때까지 성립한다.
• 이 정의는 조합론에 등장하는 많은 공식에서 크기가 0인 집합에까지 식을 일반화한다.
• 팩토리얼(계승)의 정의는 순열의 정의를 만족한다.

이중 계승(영어: double factorial)은 다음과 같이 정의된다.

$(2k-1)!!=\prod _{i=1}^{k}(2i-1)={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}$

$(2k)!!=\prod _{i=1}^{k}(2i)=2^{k}k!$

자연수가 아닌 경우의 정의

 이 부분의 본문은 감마 함수입니다.

감마 함수를 사용하여, 음의 정수가 아닌 복소수에 대하여 계승을 $z!=\Gamma (z+1)$으로 정의할 수 있다.

자연수가 아닌 수에서도 감마 함수를 이용하여, 좀 더 일반적인 형태의 계승을 정의할 수 있다: 감마 함수는 $\Gamma$로 표시하고, z>-1일때 다음과 같다.

$z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\!$

마지막의 수식은 음수와 같은 예외를 포함한, 복소수 집합에서의 일반적인 계승을 나타낸다.

특히, 자연수 + 0.5 꼴의 수에서는

$n!={\sqrt {\pi }}\times \prod _{k=0.5}^{n}k$

과 같이 계산된다.

예를 들면: $3.5!={\sqrt {\pi }}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}\approx 11.6317$ $4.5!={\sqrt {\pi }}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}\cdot {9 \over 2}\approx 52.3428$

성질

팩토리얼($factorial$)은 다음과 같은 성질을 갖는다.

$n!=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-n+2)\cdot (n-n+1)$

$n!=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-(n-2))\cdot (n-(n-1))$

$n!=(n-0)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-(n-1)+1)\cdot (n-(n-0)+1)$

$1!=(1)=(1-1+1)=(1-(1-1))=(1-(1-0)+1)=1$

• $n!=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-n+2)\cdot (n-n+1)\;\;,\;(0<k\leq n)$

${}_{n}P_{k}=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot (n-k+2)\cdot (n-k+1)$

${}_{n}P_{k}={}_{n}P_{k}\times {{(n-k)!} \over {(n-k)!}}$

${}_{n}P_{k}={{{}_{n}P_{k}\times (n-k)!} \over {(n-k)!}}$

$\therefore \;{}_{n}P_{k}={{n!} \over {(n-k)!}}$

$k=n\;,\;$

${}_{n}P_{k}=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot (n-k+2)\cdot (n-k+1)$

${}_{n}P_{n}=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-n+2)\cdot (n-n+1)=n!$

${}_{n}P_{n}={{n!} \over {(n-n)!}}$

${}_{n}P_{n}={{n!} \over {0!}}$

${0!}={{n!} \over {{}_{n}P_{n}}}$

$\therefore \;{0!}={{n!} \over {n!}}\;\;(\because \;{}_{n}P_{n}={n!})$

${0!}={1 \over 1}$

${0!}=1$

값

음이 아닌 정수의 계승은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A142)

0!	1
1!	1
2!	2
3!	6
4!	24
5!	120
6!	720
7!	5 040
8!	40 320
9!	362 880
10!	3 628 800
11!	39 916 800
12!	479 001 600
13!	6 227 020 800
14!	87 178 291 200
15!	1 307 674 368 000
16!	20 922 789 888 000
17!	355 687 428 096 000
18!	6 402 373 705 728 000
19!	121 645 100 408 832 000
20!	2 432 902 008 176 640 000

역사

계승의 기본적인 개념은 n개의 원소의 순열의 개수로서 이미 12세기 인도 수학에 알려져 있었다.

프랑스어: factorielle 팍토리엘^[*]이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가(프랑스어: Louis François Antoine Arbogast)가 사용하였다. 느낌표 표기법은 1808년 수학자 크리스티앙 크랑(프랑스어: Christian Kramp)이 저서 《보편 산술 원론》(프랑스어: Éléments d’arithmétique universelle) 에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 프랑스어: faculté 파퀼테^[*])라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다.

함께 보기

• 순열
• 조합
• 급수(시리즈)

참고 문헌

• Hadamard, M. J. (1968). 〈Sur l’expression du produit 1·2·3· · · · ·(n−1) par une fonction entière〉 (PDF). 《Œuvres de Jacques Hadamard》 (프랑스어). Paris: Centre National de la Recherche Scientifiques. 

바깥 고리

• “Factorial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Factorial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 계승값 계산 (N≤40000)
• 온라인 계승값 계산기