음함수 정리

다변수 미적분학에서 음함수 정리(陰函數定理, 영어: implicit function theorem)는 하나 또는 여러 다변수 방정식이 음함수를 결정할 충분 조건을 제시하는 정리이다.

도입

원을 나타내는 방정식

$x^{2}+y^{2}=1$

이 $x$와 $y$ 사이의 함수 관계를 결정할 수 있는지를 생각하자.

자연 정의역 $[0,1]^{2}$에서, 방정식의 그래프는 자명하게 함수의 그래프가 아니다. 예를 들어 그래프와 직선 $x=0$은 유일하지 않은 교점 $(0,1)$과 $(0,-1)$을 갖는다. 따라서 원의 방정식은 함수 형태 $y=f(x)$로 나타낼 수 없다.

점 $(1,0)$ 부근에서, 방정식의 그래프는 역시 함수의 그래프가 아니다. 즉 원은 $(1,0)$ 부근에 제한되었을 때 여전히 어떤 수직인 선과 유일하지 않은 교점을 갖는다. 따라서 원의 방정식은 $(1,0)$ 부근에서 함수 형태 $y=f(x)$로 나타낼 수 없다.

점 $(0,1)$ 부근에서, 방정식의 그래프는 함수의 그래프이다. 즉 원은 $(0,1)$ 부근에 제한되었을 때 수직인 선과 여러 교점을 가지지 않는다. 따라서 원의 방정식은 $(0,1)$ 부근에서 함수 형태 $y=f(x)$로 나타낼 수 있다.

비슷하게, $(\pm 1,0)$을 제외한 원 속 모든 점 부근에서 원의 방정식은 $y=f(x)$로 나타낼 수 있다. 이에 따라, 그 두 점을 제외하면 원의 방정식은 두 갈래의 함수

$y={\sqrt {1-x^{2}}}$

$y=-{\sqrt {1-x^{2}}}$

로 나뉜다.

음함수 정리는 어떤 방정식이 함수 형태로 나타낼 수 있을 충분 조건을 제시한다.

서술

단일 이변수 방정식에 대한 음함수 정리

두 실수 열린구간 $K\ni a$ 및 $L\ni b$의 곱집합 $K\times L$에 정의된 실숫값 함수 $z=F(x,y)$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• $F(a,b)=0$
• $F$는 $K\times L$에서 연속 미분 가능 함수이다. 즉 $x$와 $y$에 대한 $F$의 편도함수 $F_{x}'$와 $F_{y}'$가 존재하며 둘 다 $K\times L$에서 연속 함수이다.
• $F_{y}'(a,b)\neq 0$

음함수 정리에 따르면 어떤 두 부분 열린구간 $a\in I\subseteq K$와 $b\in J\subseteq L$의 곱집합 $I\times J$에서, 방정식

$F(x,y)=0$

은 $x$와 $y$ 사이의 함수 관계 $y=f(x)$를 결정한다. 즉 임의의 $x\in I$에 대하여, $F(x,y)=0$인 유일한 $y\in J$가 존재한다. 또한, $f$는 $I\times J$에서 연속 미분 가능 함수이며 그 도함수는 다음과 같다.

$f'(x)=-{\frac {F_{x}'(x,f(x))}{F_{y}'(x,f(x))}}\qquad (x\in I)$

즉

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\dfrac {\partial F}{\partial x}}{\dfrac {\partial F}{\partial y}}}\qquad (x\in I)$

연립 다변수 방정식에 대한 음함수 정리

다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

• 유클리드 공간의 연결 열린집합과 그 속의 점 ${\boldsymbol {a}}\in D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$
• 유클리드 공간의 연결 열린집합과 그 속의 점 ${\boldsymbol {b}}\in \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{m}$
• 함수 ${\boldsymbol {z}}={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})\colon D\times \Omega \to \mathbb {R} ^{m}$

(따라서 $({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})\in D\times \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n+m}$이다.)

이들이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})={\boldsymbol {0}}$
• ${\boldsymbol {F}}\in {\mathcal {C}}^{1}(D\times \Omega ;\mathbb {R} ^{m})$. 즉 연속 미분 가능 함수이다. 즉 모든 변수에 대한 편도함수가 연속 함수로서 존재한다.
• $\det {\boldsymbol {J}}_{{\boldsymbol {F}},{\boldsymbol {y}}}({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})\neq 0$. 즉 $({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})$에서 ${\boldsymbol {y}}$에 대한 편도함수 행렬이 가역 행렬이다.

음함수 정리에 따르면 다음 조건을 만족시키는 함수 ${\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})\colon U\to V$가 어떤 두 연결 열린집합 ${\boldsymbol {a}}\in U\subseteq D$와 ${\boldsymbol {b}}\in V\subseteq \Omega$ 사이에 유일하게 존재한다.

• ${\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {a}})$
• 임의의 ${\boldsymbol {x}}\in U$에 대하여 ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}}))=0$
• ${\boldsymbol {f}}\in {\mathcal {C}}^{1}(U)$

또한 $f$의 야코비 행렬은 다음과 같다.

${\boldsymbol {J}}_{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=-{\boldsymbol {J}}_{{\boldsymbol {F}},{\boldsymbol {y}}}^{-1}({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})){\boldsymbol {J}}_{{\boldsymbol {F}},{\boldsymbol {x}}}({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}}))\qquad ({\boldsymbol {x}}\in U)$

즉

${\frac {\partial (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})}{\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}}=-\left({\frac {\partial (F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m})}{\partial (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})}}\right)^{-1}{\frac {\partial (F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m})}{\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}}\qquad ({\boldsymbol {x}}\in U)$

같이 보기

• 역함수 정리

참고 문헌

• 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.