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[[대수기하학]]에서, '''대수다양체'''(代數多樣體, {{llang|en|algebraic variety}})는 국소적으로 [[다항식]]들로 주어지는 [[방정식]]들의 영점 집합처럼 보이는 공간이다. 고전적 [[대수기하학]]에서 다루는 기본적인 대상이다. |
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2016년 11월 26일 (토) 09:14 판
대수기하학에서, 대수다양체(代數多樣體, 영어: algebraic variety)는 국소적으로 다항식들로 주어지는 방정식들의 영점 집합처럼 보이는 공간이다. 고전적 대수기하학에서 다루는 기본적인 대상이다.
정의
가 대수적으로 닫힌 체라고 하자.
층 이론을 통한 정의
라고 하자. 이 위에는 자리스키 위상 및 다항함수들의 층 을 정의할 수 있다.
에 대한 대수다양체 는 다음과 같은 순서쌍이다.[1]:32, Definition 2.4.1, 2.4.4
이 데이터는 다음 세 조건들을 만족시켜야 한다.
- (국소 아핀 조건) 위에, 다음 조건을 만족시키는 열린 덮개 가 존재한다.
- 각 에 대하여, 는 위의 어떤 아이디얼 과 동형이다.
- (기약성) 는 기약 공간이다.
- (분리성) 대각 부분 집합 가 닫힌집합이다.
국소적으로 아핀 대수다양체와 동형인 환 달린 공간이다. 즉, 환 달린 공간 위에 열린 덮개 가 존재하여, 각각이 아핀 대수다양체를 이루는 경우다.
스킴 이론을 통한 정의
이 정의는 스킴 이론을 사용하여 서술할 수 있다. 대수적으로 닫힌 체 에 대하여, -대수다양체는 다음 조건들을 모두 만족시키는 -스킴 이다.[2]:105
- 기약 스킴이다. 이는 대수다양체를 기약 대수 집합으로 국한시키는 것이며, 위상 공간으로서의 연결성보다 더 강한 조건이다.
- 축소 스킴이다. 이는 와 같은 멱영원의 부재를 의미한다. 이러한 멱영원은 기하학적으로 싹으로 해석할 수 있다.
- 분리 스킴이다. 예를 들어, 두 개의 아핀 직선 을, 0을 제외한 열린 집합 에서 이어붙여, 원점이 두 개가 있는 아핀 직선을 만들 수 있는데, 이는 분리 스킴이 아니다.[2]:75–76, Example 2.3.6 이는 위상 공간의 하우스도르프 조건에 대응한다.
- 사상 는 유한형 사상이다. 이는 대수다양체가 국소적으로 다항식환 의 몫대수의 꼴임을 뜻하며, 이에 따라 대수다양체는 유한한 차원을 갖는다.
종류
고전적 대수기하학에서는 보통
- 아핀 다양체(affine多樣體, 영어: affine variety)
- 준아핀 다양체(準affine多樣體, quasiaffine variety)
- 사영 다양체(射影多樣體, 영어: projective variety)
- 준사영 다양체(準射影多樣體, 영어: projective variety)
를 정의한다.
아핀 다양체
가 대수적으로 닫힌 체 (복소수체 등)라고 하자. 이 에 대한 아핀 공간이라고 하자. 그렇다면 다음을 정의할 수 있다.
고전적으로, 가 다항식환 의 부분 집합이라고 할 때, 가 의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉
이다. 그렇다면 아핀 대수 집합(affine代數集合, affine algebraic set) 이란 인 이 존재하는 부분 집합이다. 아핀 다양체는 두 개의 아핀 대수 집합의 자명하지 않는 합집합(즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 아핀 대수 집합이다.
아핀 대수 집합에는 자리스키 위상이라는 자연스러운 위상이 존재한다. 따라서 모든 아핀 대수 집합은 위상 공간을 이룬다.
준아핀 다양체는 아핀 다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 집합이다.
사영 다양체
가 대수적으로 닫힌 체 (복소수체 등)라고 하자. 이 에 대한 사영 공간이라고 하자. 그렇다면 다음을 정의할 수 있다.
고전적으로, 이 동차 다항식으로만 이루어져 있다고 하자. 그렇다면 가 의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉
이다. (다항식이 동차 다항식이 아닌 경우에는 사영 공간에서의 근을 정의할 수 없다.) 사영 대수 집합(射影代數集合, 영어: projective algebraic set) 이란 인 동차 다항식 부분 집합 이 존재하는 부분 집합이다. 사영 다양체는 두 개의 사영 대수 집합의 자명하지 않는 합집합(즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분 집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 사영 대수 집합이다. 준사영 다양체는 사영 다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 집합이다.
성질
대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체들에 대하여, 다음 포함 관계가 성립한다.
- 아핀 다양체 ⊊ 준아핀 다양체 ⊊ 준사영 다양체 ⊊ 대수다양체 ⊊ -스킴
- 사영 다양체 ⊊ 준사영 다양체 ⊊ 대수다양체 ⊊ -스킴
- 아핀 다양체 ⊊ 아핀 대수 집합 ⊊ -스킴
- 사영 다양체 ⊊ 사영 대수 집합 ⊊ -스킴
이는 아핀 공간 이 사영 공간 의 자리스키 열린 집합이기 때문이다.
일반적으로 아핀 다양체는 사영 다양체일 필요가 없고, 반대로 사영 다양체는 아핀 다양체일 필요가 없다. 아핀/사영 다양체가 아닌 아핀/사영 대수 집합은 대수다양체가 아니다. 또한, 준사영 다양체가 아닌 대수다양체가 존재한다.[3]
영점 정리
힐베르트 영점 정리에 따르면, 아핀 다양체 의 부분 대수다양체들은 정역 의 소 아이디얼들과 일대일 대응하며, 의 부분 대수 집합들은 의 반소 아이디얼들과 일대일 대응한다.
마찬가지로, 사영 다양체 의 부분 대수다양체들은 등급환 의 동차 소 아이디얼과 일대일 대응하며, 부분 대수 집합들은 의 동차 반소 아이디얼들과 일대일 대응한다.
이는 범주론적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. 대수적으로 닫힌 체 에 대한 아핀 다양체의 범주 의 반대 범주 는 다음과 같은 범주와 동치이다.[2]:20, Corollary 3.8
역사
아핀 다양체는 고대부터 유클리드 공간의 초곡면으로 오랫동안 연구되었다. 이후 복소수의 등장으로 대수기하학이 대수적으로 닫힌 체에서 훨씬 더 쉽다는 사실이 발견되었고, 또 사영기하학이 발달하면서 사영 공간 속의 (준)사영 다양체의 개념이 대두되었다.
"국소적으로 아핀 다양체와 동형인 공간"이라는, 대수다양체의 추상적인 정의는 앙드레 베유가 1946년에 제안하였다.[2]:105, Remark 4.10.2[4] 베유는 원래 추상적 대수다양체의 개념을 야코비 다양체를 정의하려고 정의했는데,[2]:105, Remark 4.10.2[5] 베유는 야코비 다양체가 사실 (준)사영 대수다양체라는 것을 보일 수 없었다. 이후 1954년에 저우웨이량이 사실은 사영 다양체라는 것을 보였고,[2]:105, Remark 4.10.2[6] 1956년에 나가타 마사요시가 준사영 다양체가 아닌 대수다양체가 존재함을 증명하였다.[3]
베유 이후, 1955년에 장피에르 세르가 대수다양체를 환 달린 공간의 개념을 사용하여 재정의하였다.[7] 이 정의는 복소수에 대한 기존의 복소 대수기하학을 임의의 체 위에서도 할 수 있는 토대를 마련하였다. 이후 알렉산더 그로텐디크의 스킴 이론이 등장하면서, 대수다양체는 적절한 성질을 만족시키는 스킴으로 다시 한 번 재정의되었다.
참고 문헌
- ↑ Arapura, Donu (2012). 《Algebraic geometry over the complex numbers》. Universitext (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4614-1809-2. ISBN 978-1-4614-1808-5. ISSN 0172-5939. Zbl 1235.14001.
- ↑ 가 나 다 라 마 바 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
- ↑ 가 나 Nagata, M. “On the imbedding problem of abstract varieties in projective varieties”. 《Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics》 (영어) 30 (1): 71–82. MR 88035. Zbl 0075.16003.
- ↑ Weil, André (1946). 《Foundations of Algebraic Geometry》 (영어). American Mathematical Society Colloquium Publications 29. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.
- ↑ Weil, A. (1946). 《"Courbes algébriques et variétés abéliennes. Variétés abéliennes et courbes algébriques》 (프랑스어). Hermann. MR 0029522. Zbl 0208.49202.
- ↑ Chow, W.L. (1954). “The Jacobian variety of an algebraic curve”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 76: 453–476. MR 0061421. Zbl 0056.14404.
- ↑ Serre, Jean-Pierre (1955년 3월). “Faisceaux algébriques cohérents” (PDF). 《Annals of Mathematics》 61 (2): 197-278. doi:10.2307/1969915.
바깥 고리
- “Algebraic variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Projective algebraic set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Affine variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Affine algebraic set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraic variety”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Affine variety”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Algebraic variety”. 《nLab》 (영어).
- “Projective variety”. 《nLab》 (영어).
- “Affine variety”. 《nLab》 (영어).