포물선

포물선 위의 점은 초점 F와 준선 L에 이르는 거리가 같다, 즉 P_iF = P_iQ_i (i = 1, 2, 3)

포물선(抛物線, 문화어: 팔매선, 영어: parabola)은 평면에서 어떤 점 $F$와 $F$를 지나지 않는 직선 $l\,$이 주어졌을 때, $F$에 이르는 거리와 $l\,$에 이르는 거리가 같은 점들의 자취이다. 이때 $F$를 초점, $l\,$을 준선(準線, directrix)이라고 한다. 포물선은 준선에 수직이고 초점을 지나는 직선에 대해 대칭인데 이 직선을 포물선의 축이라고 하고, 축과 포물선의 교점을 포물선의 꼭짓점이라고 한다.

포물선은 원, 타원, 쌍곡선과 함께 원뿔 곡선으로 불린다. 이들은 모두 원뿔을 평면으로 자를 때 생기는 자취이기 때문이다.

개요

포물선 위의 한 점에서 초점 또는 준선과의 거리

포물선은 유클리드 평면에서 초점과 준선에 이르는 거리가 같은 점들의 자취이다. 직교좌표계에서 준선이 x축에 평행하고 원점을 꼭지점으로 하는 포물선을 생각할 때, 초점은 y축 위의 한 점이 된다. 그림과 같이 초점 $F(0,a)$와 준선 $l,y=-a$가 있다고 할 때 포물선 위의 한 점 $P(x,y)$에서 초점 또는 준선까지의 거리는 아래와 같다.

점 $P$와 초점 $F$의 거리: ${\sqrt {x^{2}+(y-a)^{2}}}$

점 $P$와 춘선 $l$의 거리: $y+a$

포물선의 정의에 의해 위 두 거리가 같으므로;

${\sqrt {x^{2}+(y-a)^{2}}}=y+a$

$x^{2}+y^{2}-2ay+a^{2}=y^{2}+2ay+a^{2}$

$x^{2}=4ay$

따라서 준선이 x축에 평행하고 꼭지점이 원점인 포물선은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$y={\frac {1}{4a}}x^{2}$

예를 들어 $y=x^{2}$의 경우 초점은 $(0,{\frac {1}{4}})$, 준선은 $y=-{\frac {1}{4}}$이 된다. 한편, 준선이 y축에 평행하고 꼭지점이 원점에 놓이는 포물선은 $x={\frac {1}{4a}}y^{2}$으로 나타낼 수 있다.

준선이 x축에 평행하고 꼭지점이 원점에 놓이는 포물선의 경우, 준선과 y축의 교점이 음수이면 포물선은 그림과 같이 아래로 볼록하게 되고, 준선이 y축의 교점이 양수이면 포물선은 반대로 위로 볼록한 모양이 된다.

직교좌표계에서 일반적인 이차방정식을 관계식으로 갖는 함수 $y=ax^{2}+bx+c$의 그래프는 포물선을 그린다.

포물선은 원뿔곡선의 하나이다. 원뿔곡선의 일반적인 방정식은

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

으로 나타낼 수 있고, 위 식에서 $B^{2}=4AC$의 관계가 성립할 때 포물선이 된다.

역사

 원뿔 곡선 문서를 참고하십시오.

마주 보는 두 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취가 원뿔 곡선이다. 제일 왼쪽의 A가 포물선이다.

원뿔 곡선의 엄밀한 정의는 메나이크모스에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 정육면체의 부피를 두배로 늘리는 문제, 즉 $x^{3}=2$의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.

원뿔 곡선의 수학적 특성을 집대성한 것은 페르게의 아폴로니오스로 그는 모두 8권의 《원뿔 곡선론》을 저술하였다. 이 가운데 일곱권이 오늘날까지 전해지는데 네 권은 그리스어로 세 권은 아랍어로 된 판본이 남아있다.

17세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, 고전역학의 등가속도운동의 계산이나 반사망원경과 같은 광학 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.

포물선의 방정식

준선이 x축에 평행하고 아래로 볼록한 일반적인 포물선

개요에서 나타낸 바와 같이 준선이 x축에 평행하고 꼭지점이 원점에 놓인 포물선의 초점을 F(0,p)라고 하면, 이 포물선의 방정식은

$y={\frac {1}{4p}}x^{2}$ --- ⓐ

로 나타낼 수 있다. 이를 x축으로 h만큼, y축으로 k만큼 평행 이동하면

$y-k={\frac {(x-h)^{2}}{4p}}$ --- ⓑ

이 된다.

이때 초점과 준선 역시 평행이동 되므로 초점은 $(h,k+p)$, 준선은 $y=k-p$가 된다.

위의 식 ⓑ를 풀어

$y={\frac {1}{4p}}x^{2}-{\frac {1}{2p}}mx+{\frac {1}{4p}}m^{2}+k$

의 꼴로 나타낼 때, ${\frac {1}{4p}}=a,-{\frac {1}{2p}}m=b,{\frac {1}{4p}}m^{2}+k=c$라고 하면, 포물선의 방정식은

$y=ax^{2}+bx+c$ --- ⓒ

로 나타낼 수 있다.

준선이 y축에 평행하다면 식 ⓑ는 x와 y가 뒤바뀌어 $x-k={\frac {(y-h)^{2}}{4p}}$ 꼴이 될 것이다.

접선의 방정식

기울기가 주어졌을 경우

기울기가 $k\,$로 주어졌을 경우, 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.

• $(y-n)^{2}=4p(x-m)$ 일 때

$(y\,-n)=k(x-m)+{\frac {p}{k}}$

• $(x-m)^{2}=4p(y-n)$ 일 때

$(y\,-n)=k(x\,-m)-k^{2}p$

접점이 주어졌을 경우

포물선 위의 점 $(x_{1},y_{1})$에서 접선을 그었을 경우, 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.

• $(y-n)^{2}=4p(x-m)$ 일 때

$(y_{1}-n\,)(y-n)=2p\left\{(x-m)+(x_{1}-m)\right\}$

• $(x-m)^{2}=4p(y-n)$ 일 때

$(x_{1}-m\,)(x-m)=2p\left\{(y-n)+(y_{1}-n)\right\}$

포물선의 극방정식

극좌표계에서 포물선은 다음과 같이 정의된다.

$r={\ell \over {1+cos\theta }}$

성질

• 원뿔 곡선이다.
• 준선이 좌표축과 평행한 포물선은 이차곡선이다.
• $y={\frac {1}{2}}kx^{2}$ 의 포물선의 꼭짓점의 곡률 은 $k$이고 곡률 반지름은 ${\frac {1}{k}}$이다.
• 준선위의 한 점에서 포물선에 그은 두 접선은 서로 수직이다.
• 축과 평행한 빛이 포물선에 반사되면 초점을 향한다. 마찬가지로 초점에서 나온 빛이 포물선에 반사되면 광축과 평행하게 나아간다.
• 초점을 지나고 준선에 평행한 직선이 포물선에 의해 잘리는 선분의 길이는 꼭짓점과 초점을 잇는 선분의 길이의 4배이다.

응용

뉴턴 역학에서, 포물선은 균등한 중력장 속에서 물체를 던졌을 때, 공기 저항을 무시했을 때 물체가 그리는 궤적이다.