계차수열: 두 판 사이의 차이
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과 같다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>'' |
과 같다. 수열 {{수학|{{수집|''a<sub>n</sub>''}}}}의 계차수열의 [[일반항]]은 {{수학|''a''<sub>''n''+1</sub> - ''a<sub>n</sub>''}}이다. |
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계차수열은 [[등차수열]], 나아가 고계등차수열을 정의하는 데에 쓸 수 있다. |
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* 등차수열 {{수학|1=''a<sub>n</sub>'' = ''pn'' + ''q''}}의 계차수열은 [[상수열]] {{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' = ''p''}}이다. 특별히, 상수열 {{수학|1=''a<sub>n</sub>'' = ''c''}}의 계차수열은 영수열 {{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' = 0}}이다. |
* 등차수열 {{수학|1=''a<sub>n</sub>'' = ''pn'' + ''q''}}의 계차수열은 [[상수열]] {{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' = ''p''}}이다. 특별히, 상수열 {{수학|1=''a<sub>n</sub>'' = ''c''}}의 계차수열은 영수열 {{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' = 0}}이다. |
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* [[조화수열]] {{수학|1=''a<sub>n</sub>'' = {{수직분수|''pn'' + ''q''}}}}의 계차수열은 {{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' = {{수직분수|''p''|(''pn'' + ''q'')(''pn'' + ''p'' + ''q'')}}}}이다. |
* [[조화수열]] {{수학|1=''a<sub>n</sub>'' = {{수직분수|''pn'' + ''q''}}}}의 계차수열은 {{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' = {{수직분수|''p''|(''pn'' + ''q'')(''pn'' + ''p'' + ''q'')}}}}이다. |
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* 주어진 수열 {{ |
* 주어진 수열 {{수변|a<sub>n</sub>}}의 합 {{수학|1=''S<sub>n</sub>'' = ''a<sub>1</sub>'' + … + ''a<sub>n</sub>''}}의 계차수열은 {{수학|''a<sub>2</sub>'', ''a<sub>3</sub>'', ''a<sub>4</sub>'', ...}}이다. |
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* [[다항식의 차수|3차]] [[다항식]]인 {{수학|''n''<sup>3</sup>}}의 1, 2, 3계차수열은 각각 {{수학|3''n''<sup>2</sup> + 3''n'' + 1}}, {{수학|6''n'' + 6}}, {{수학|6}}이며, 이들은 각각 2차, 1차, 0차 다항식이다. |
* [[다항식의 차수|3차]] [[다항식]]인 {{수학|''n''<sup>3</sup>}}의 1, 2, 3계차수열은 각각 {{수학|3''n''<sup>2</sup> + 3''n'' + 1}}, {{수학|6''n'' + 6}}, {{수학|6}}이며, 이들은 각각 2차, 1차, 0차 다항식이다. |
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== 성질 == |
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* 임의의 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>'' |
* 임의의 수열 {{수학|{{수집|''a<sub>n</sub>''}}}}은 초항과 일계차수열 {{수학|{{수집|Δ''a<sub>n</sub>''}}}}에 의해 유일하게 결정된다. |
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* 다만, 홀수열 {{수학|1, 3, ...}}과 짝수열 {{수학|2, 4, ...}}처럼, 일계차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다. |
* 다만, 홀수열 {{수학|1, 3, ...}}과 짝수열 {{수학|2, 4, ...}}처럼, 일계차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다. |
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*:<math>a_n={n-1\choose 0}a_1+{n-1\choose 1}\Delta a_1+{n-1\choose 2}\Delta^2 a_1+\cdots+{n-1\choose n-1}\Delta^{n-1}a_1=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}\Delta^k a_1</math> |
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: 여기서 <math>\textstyle{n-1\choose k}</math>는 {{수학|''n'' - 1}}의 대상 중에서 {{수학|k}} 개를 고른 [[조합수]]이다. |
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* [[단조수열|수열의 단조성]]은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>'' |
* [[단조수열|수열의 단조성]]은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 {{수학|{{수집|''a<sub>n</sub>''}}}}이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은 {{수학|Δ''a<sub>n</sub>'' ≥ 0}}이 모든 {{수학|n}}에게 성립하는 것이다. 수열 {{수학|{{수집|''a<sub>n</sub>''}}}}이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, {{수학|Δ''a<sub>n</sub>'' ≤ 0}}이 모든 {{수학|n}}에게 성립하는 것이다. |
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'''{{수학|k}}계등차수열'''은, {{수학|x}}계차수열이 상수열이 되게 하는 가장 작은 자연수 {{수학|x}}가 {{수학|k}}인 수열을 말한다. 공차가 0이 아닌 등차수열은 일계등차수열이다. 상수열은 0계차수열(자기 자신)이 상수열이기에 0계등차수열이다. |
'''{{수학|k}}계등차수열'''은, {{수학|x}}계차수열이 상수열이 되게 하는 가장 작은 자연수 {{수학|x}}가 {{수학|k}}인 수열을 말한다. 공차가 0이 아닌 등차수열은 일계등차수열이다. 상수열은 0계차수열(자기 자신)이 상수열이기에 0계등차수열이다. |
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어떤 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>'' |
어떤 수열 {{수학|{{수집|''a<sub>n</sub>''}}}}이 {{수학|k}}계등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 {{수학|n}}에 대한 [[다항식|{{수학|k}}차 다항식]]이라는 것이다.<ref name="WQ" /> |
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== 각주 == |
== 각주 == |
2016년 4월 24일 (일) 08:19 판
수학에서, 수열의 계차수열(階差數列)은 그 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 수열이다. 예를 들어 수열
- 1, 4, 9, 16, ... , n2, ...
의 계차수열은
- 3, 5, 7, ... , 2n + 1, ...
과 같다. 수열 틀:수집의 계차수열의 일반항은 an+1 - an이다.
계차수열은 등차수열, 나아가 고계등차수열을 정의하는 데에 쓸 수 있다.
정의
수열 틀:수집의 계차수열은 다음과 같은 수열 틀:수집이다.[1]
또, 틀:수집의 계차수열
을 이계차수열이라고 하고, 틀:수집으로 표기한다.
임의의 자연수 k에 대하여 k계차수열 틀:수집은 다음과 같이 정의된다.
위에서 알 수 있듯이, 틀:수변의 영계차수열은 자기 자신, 일계차수열은 Δan이다.
예
- 수열 1, 3, 5, 7, ...과 2, 4, 6, 8, ...의 계차수열은 모두 2, 2, 2, 2, ...이다.
- 수열 1, 12, 13, 14, ...의 계차수열은 11 × 2, 12 × 3, 13 × 4, ...이다.
- 수열 9, 99, 999, 9999, ...의 계차수열은 90, 900, 9000, ...이다. 이계차수열은 810, 8100, ...이다.
- 피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...의 계차수열은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., 즉 0 하나를 앞에 붙인 것과 같다.
- 등차수열 an = pn + q의 계차수열은 상수열 Δan = p이다. 특별히, 상수열 an = c의 계차수열은 영수열 Δan = 0이다.
- 조화수열 an = 1pn + q의 계차수열은 Δan = p(pn + q)(pn + p + q)이다.
- 주어진 수열 틀:수변의 합 Sn = a1 + … + an의 계차수열은 a2, a3, a4, ...이다.
- 3차 다항식인 n3의 1, 2, 3계차수열은 각각 3n2 + 3n + 1, 6n + 6, 6이며, 이들은 각각 2차, 1차, 0차 다항식이다.
성질
- 임의의 수열 틀:수집은 초항과 일계차수열 틀:수집에 의해 유일하게 결정된다.
- 다만, 홀수열 1, 3, ...과 짝수열 2, 4, ...처럼, 일계차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.
- 더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같이 유일하게 결정된다.[1]
- 여기서 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \textstyle{n-1\choose k}} 는 n - 1의 대상 중에서 k 개를 고른 조합수이다.
- 수열의 단조성은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 틀:수집이 단조증가할 필요충분조건은 Δan ≥ 0이 모든 n에게 성립하는 것이다. 수열 틀:수집이 단조감소할 필요충분조건은, Δan ≤ 0이 모든 n에게 성립하는 것이다.
- 아벨 변환
- 슈톨츠-체사로 정리
고계등차수열
k계등차수열은, x계차수열이 상수열이 되게 하는 가장 작은 자연수 x가 k인 수열을 말한다. 공차가 0이 아닌 등차수열은 일계등차수열이다. 상수열은 0계차수열(자기 자신)이 상수열이기에 0계등차수열이다.
어떤 수열 틀:수집이 k계등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 n에 대한 k차 다항식이라는 것이다.[1]