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합곱은 1935년~1938년 [[제임스 워델 알렉산더]] · [[에두아르트 체흐]] · [[해슬러 휘트니]]의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 [[사무엘 에일렌베르크]]가 일반화시켜서 사용하기 시작했다. |
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합곱은 1935년~1938년 [[제임스 워델 알렉산더]] · [[에두아르트 체흐]]<ref><ref>{{저널 인용|제목=Multiplications on a complex|이름=Eduard|성=Čech|저자고리=에두아르트 체흐|날짜=1936-07|zbl=0015.13101|권=37|쪽=681–697|호=3|저널=Annals of Mathematics|언어=en}}</ref></ref> · [[해슬러 휘트니]]의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 [[사무엘 에일렌베르크]]가 일반화시켜서 사용하기 시작했다. |
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== 같이 보기 == |
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== 같이 보기 == |
대수적 위상수학에서, 합곱(合곱, 영어: cup product 컵 프로덕트[*])은 두 코호몰로지류를 더 큰 코호몰로지류로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다.
정의
쌍대사슬의 합곱
위상 공간 및 가환환 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 합곱은 다음과 같은 -선형 변환이다.
이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 차 특이 쌍대사슬 및 차 특이 쌍대사슬 및 차 특이 단체 에 대하여,
여기서
()는 차원 표준 단체를 꼭짓점들이 인 차원 표준 단체의, 에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 함수이다.
코호몰로지류의 합곱
쌍대사슬의 합곱은 다음과 같이 쌍대경계 와 호환된다.
따라서, 쌍대사슬의 합곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 합곱
이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 는 등급환을 이룬다.
텐서곱
두 위상 공간 및 가환환 위의 가군 , 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬에 대한 다음과 같은 사상이 존재한다.
여기서
는 곱공간의 사영 사상이다.
이 역시 쌍대경계와 호환되어, 코호몰로지류의 텐서곱
을 정의할 수 있다. 만약 라면, 이므로 이는
이다. 이 사상은 퀴네트 정리에 등장하는 사상과 같다.
성질
코호몰로지류의 합곱은 다음과 같은 등급 교환 법칙을 따른다.
합곱은 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 연속 함수 에 대하여, 코호몰로지의 당김
을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 에 대하여,
즉, 는 등급환의 준동형을 이룬다.
합곱과 텐서곱의 관계
위상 공간 및 가환환 위의 가군 , 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대각 사상
이 존재한다. 그렇다면, 텐서곱의 대각 사상에 대한 당김
이 존재한다. 만약 라면, 이는 합곱 과 일치한다.
역사
합곱은 1935년~1938년 제임스 워델 알렉산더 · 에두아르트 체흐인용 오류: <ref>
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태그가 없습니다</ref> · 해슬러 휘트니의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 사무엘 에일렌베르크가 일반화시켜서 사용하기 시작했다.
같이 보기
참고 문헌
바깥 고리