스펙트럼 열: 두 판 사이의 차이

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그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 <math>r</math>에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 <math>r_0,r_0+1,\dots</math>인 "책"을 이루며, 책의 <math>r\ge r_0</math>번째 쪽에는 <math>(p,q)</math>에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.
그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 <math>r</math>에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 <math>r_0,r_0+1,\dots</math>인 "책"을 이루며, 책의 <math>r\ge r_0</math>번째 쪽에는 <math>(p,q)</math>에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.


=== 수렴 ===
=== 수렴과 퇴화 ===
스펙트럼 열 <math>E_r^{p,q}</math>이 주어졌다고 하자. 만약 각 <math>(p,q)</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 <math>r_0(p,q)</math>가 존재한다고 하자.
스펙트럼 열 <math>E_r^{p,q}</math>이 주어졌다고 하자. 만약 각 <math>(p,q)</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 <math>r_0(p,q)</math>가 존재한다고 하자.
:<math>d_r^{p-r,q+r+1}=0\qquad\forall r\ge r_0(p,q)</math>
:<math>d_r^{p-r,q+r+1}=0\qquad\forall r\ge r_0(p,q)</math>
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=== 5항 완전열 ===
=== 5항 완전열 ===
==== 코호몰로지 5항 완전열 ====
수렴하는 스펙트럼 열
수렴하는 스펙트럼 열
:<math>E^{p,q}_2\Rightarrow_p E_\infty^{p+q}</math>
:<math>E^{p,q}_2\Rightarrow_p E_\infty^{p+q}</math>
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이는 구체적으로 다음과 같다. 스펙트럼 열의 성분들이 오직 제1사분면에서만 자명하지 않으므로,
이는 구체적으로 다음과 같다. 스펙트럼 열의 성분들이 오직 제1사분면에서만 자명하지 않으므로,
:<math>E_2^{1,0}\cong F^1E_\infty^1</math>
:<math>E_2^{1,0}\cong E_\infty^{1,0}=\frac{F^1E_\infty^1}{F^2E_\infty^1}=F^1E_\infty^1</math>
:<math>\ker d_2^{0,1}\cong E_\infty^1/F^1E_\infty^1</math>
:<math>\ker d_2^{0,1}\cong E_\infty^{0,2}=\frac{F^0E_\infty^1}{F^1E_\infty^1}=\frac{E_\infty^1}{F^1E_\infty^1}</math>
:<math>\operatorname{coker} d_2^{0,1}\cong F^2E_\infty^2</math>
:<math>\operatorname{coker} d_2^{0,1}\cong E_\infty^{2,0}=\frac{F^2E_\infty^2}{F^3E_\infty^2}=F^2E_\infty^2</math>
이다. 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.
이다. 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.
:<math>0\to E_2^{1,0}\cong F^1E_\infty^1\hookrightarrow E_\infty^1\to E_\infty^1/F^1E_\infty^1
:<math>0\to E_2^{1,0}\cong F^1E_\infty^1\hookrightarrow E_\infty^1\to \frac{E_\infty^1}{F^1E_\infty^1}
\cong \ker d_2^{0,1}\hookrightarrow E_2^{0,1}\xrightarrow{d_2^{0,1}} E_2^{2,0} \twoheadrightarrow\operatorname{coker} d_2^{0,1} \cong F^2 E^2_\infty \hookrightarrow E^2_\infty</math>
\cong \ker d_2^{0,1}\hookrightarrow E_2^{0,1}\xrightarrow{d_2^{0,1}} E_2^{2,0} \twoheadrightarrow\operatorname{coker} d_2^{0,1} \cong F^2 E^2_\infty \hookrightarrow E^2_\infty</math>
여기서 <math>\ker d_2^{0,1}</math>와 <math>\operatorname{coker} d_2^{0,1}</math>을 생략하면 5항 완전열을 얻는다.
여기서 <math>\ker d_2^{0,1}</math>와 <math>\operatorname{coker} d_2^{0,1}</math>을 생략하면 5항 완전열을 얻는다.


==== 호몰로지 5항 완전열 ====
마찬가지로, 수렴하는 호몰로지 스펙트럼 열
마찬가지로, 수렴하는 호몰로지 스펙트럼 열
:<math>E^2_{p,q}\Rightarrow_p E^\infty_{p+q}</math>
:<math>E^2_{p,q}\Rightarrow_p E^\infty_{p+q}</math>
이 주어졌고, <math>p<0</math> 또는 <math>q<0</math>이라면 그 성분이 자명하다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 '''5항 [[완전열]]'''이 존재한다.
이 주어졌고, <math>p<0</math> 또는 <math>q<0</math>이라면 그 성분이 자명하다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 '''5항 [[완전열]]'''이 존재한다.
:<math>E_2^\infty \to E_{2,0}^2\to E_{0,1}^2\xrightarrow{\partial^2_{0,1}} E_1^\infty \to E_{1,0}^2\to 0</math>
:<math>E_2^\infty \to E_{2,0}^2\xrightarrow{\partial^2_{2,0}} E_{0,1}^2\to E_1^\infty \to E_{1,0}^2\to 0</math>
이는 구체적으로 다음과 같다. 스펙트럼 열의 성분들이 오직 제1사분면에서만 자명하지 않으므로,
:<math>E^2_{1,0}\cong E^\infty_{1,0}=\frac{F_1E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}=\frac{E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}</math>
:<math>\ker\partial^2_{2,0}\cong E_{2,0}^\infty =\frac{F_2E^\infty_2}{F_1E^\infty_2} =\frac{E^\infty_2}{F_1E^\infty_2}</math>
:<math>\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}\cong E_{0,1}^\infty=\frac{F_0E_\infty^2}{F_{-1}E_\infty^2}=F_0E_\infty^2</math>
이다. 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.
:<math>E_2^\infty \twoheadrightarrow \frac{E^\infty_2}{F_1E^\infty_2}\cong\ker\partial^2_{2,0}
\hookrightarrow E_{2,0}^2\xrightarrow{\partial^2_{2,0}} E_{0,1}^2\twoheadrightarrow\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}\cong F_0E_1^\infty\hookrightarrow E_1^\infty \twoheadrightarrow\frac{E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}\cong E_{1,0}^2\to 0</math>
여기서 <math>\ker\partial^2_{2,0}</math>와 <math>\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}</math>을 생략하면 5항 완전열을 얻는다.


== 구성 ==
== 구성 ==

2016년 1월 17일 (일) 19:04 판

호몰로지 대수학에서, 스펙트럼 열(spectrum列, 영어: spectral sequence)은 어떤 호몰로지 또는 코호몰로지에 대한 일련의 근사들을 나타내는 수학적 대상이다.

정의

어떤 아벨 범주 의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading) 을 가진다고 하자. 이 경우, (코호몰로지) 스펙트럼 열 는 다음과 같은 대상들로 이루어진다.

  • 어떤 정수
  • 모든 에 대하여, 의 대상
  • 공경계 사상

이들은 다음을 만족시킨다.

  • 모든 정수 에 대하여, 이다. 즉, 다음은 완전열을 이룬다.
  • 이다.

호몰로지 스펙트럼 열의 경우 대신 로 쓰고, 이 경우 공경계 사상 대신 경계 사상

을 사용한다.

코호몰로지 스펙트럼 수열 의 형상화

그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 인 "책"을 이루며, 책의 번째 쪽에는 에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.

수렴과 퇴화

스펙트럼 열 이 주어졌다고 하자. 만약 각 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 가 존재한다고 하자.

그렇다면, 주어진 에 대하여 는 충분히 큰 에 대하여 같아진다. 이를 라고 하고, 여과 지표(영어: filtration index) 에 대하여 수렴(영어: converge, abut)한다고 한다. 이는 기호로 다음과 같이 적는다.

보통 여과 가 갖추어져 있는 대상 으로부터 다음과 같이 얻어진다.

이 경우 마찬가지로

로 표기한다.

스펙트럼 열 이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 정수 가 존재한다면, 에서 퇴화(영어: degenerate)한다고 한다.

스펙트럼 열이 퇴화하는 것은 스펙트럼 열이 수렴하는 것보다 더 강한 조건이다.

5항 완전열

코호몰로지 5항 완전열

수렴하는 스펙트럼 열

이 주어졌다고 하고, 또는 이라면 그 성분이 자명하다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전열이 존재한다.

이를 5항 완전열(五項完全列, 영어: five-term exact sequence)이라고 한다.

이는 구체적으로 다음과 같다. 스펙트럼 열의 성분들이 오직 제1사분면에서만 자명하지 않으므로,

이다. 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.

여기서 을 생략하면 5항 완전열을 얻는다.

호몰로지 5항 완전열

마찬가지로, 수렴하는 호몰로지 스펙트럼 열

이 주어졌고, 또는 이라면 그 성분이 자명하다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 5항 완전열이 존재한다.

이는 구체적으로 다음과 같다. 스펙트럼 열의 성분들이 오직 제1사분면에서만 자명하지 않으므로,

이다. 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.

여기서 을 생략하면 5항 완전열을 얻는다.

구성

스펙트럼 열은 보통 완전쌍이나 사슬 복합체의 여과로부터 발생한다.

완전쌍

어떤 아벨 범주 속에서의 완전쌍(完全雙, 영어: exact couple) 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 두 개의 대상 ,
  • 사상

이들은

를 만족시켜야 한다. 즉, 다음 그림이 완전열을 이룬다.

완전쌍 유도 완전쌍(誘導完全雙, 영어: derived exact couple) 은 다음과 같은 완전쌍이다.

  • 는 (모든 아벨 범주는 구체적 범주로 나타낼 수 있으므로) 이다. 이 경우, 의 선택이 상관없음을 보일 수 있다.
  • 에 의하여 유도된다. 즉, 이다. 이 경우, 이므로 항상 가 존재하며, 따라서 이다.

이를 반복하여, 차 유도 완전쌍 을 정의할 수 있다. 그렇다면,

는 스펙트럼 열을 이룬다. (보통, 는 두 개의 등급을 갖는다.) 알려진 대부분의 스펙트럼 열은 이와 같이 완전쌍으로부터 유도된다.

여과 복합체의 스펙트럼 열

사슬 복합체 에 증가하는 여과 가 주어졌다고 하자. 즉,

라고 하자. 또한, 경계 가 여과와 호환된다고 하자. 즉,

이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 완전 그림이 존재한다.

여기에

를 정의한다면,

를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 스펙트럼 열을 정의할 수 있다.

CW 복합체이며, 가 그 차원 뼈대라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전 도형이 존재한다.

이에 따라,

로 놓으면,

를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 유도되는 스펙트럼 열은 에서 끝난다. 이를 통해, 세포 코호몰로지특이 코호몰로지와 동형임을 보일 수 있다.

역사

장 르레가 1946년 층 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다.[1][2] 이는 오늘날 르레 스펙트럼 열(영어: Leray spectral sequence)로 불리며, 유도 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열(영어: Grothendieck spectral sequence)의 특수한 경우다. 그 뒤, 세르 스펙트럼 열(Serre spectral sequence), 아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열(Atiyah–Hirzebruch spectral sequence) 등 스펙트럼 열의 다른 많은 예들이 발견되었다. 윌리엄 매시(영어: William Massey)는 완전쌍(영어: exact couple)이라는, 스펙트럼 열을 정의하는 일반적인 방법을 발견하였다.[3][4]

르레는 원래 "스펙트럼 열"이라는 용어를 사용하지 않았으나, 1949년 논문에서 최초로 "스펙트럼 환"(프랑스어: anneau spectral)라는 용어를 사용하였고,[5][6][7] 이듬해 장피에르 세르가 이를 "스펙트럼 열"(프랑스어: suite spectrale)으로 개량하였다.[6][8] 존 매클리어리(영어: John McCleary)에 따르면, 아마 이 이름은 스펙트럼 열의 각 성분을 어떤 미분 연산자스펙트럼을 구성하는 고윳값에 비유하여 붙인 것이라고 한다.[7] 라비 바킬(영어: Ravi Vakil)은 스펙트럼 열(영어: spectral sequence 스펙트럴 시퀀스[*])이 이런 이름이 붙은 것은 마치 귀신(영어: specter 스펙터[*])처럼 "무시무시하고 사악하고 위험한"(영어: terrifying, evil, and dangerous) 대상이기 때문이라고 농으로 비유하였다.[9]

참고 문헌

  1. Leray, Jean (1946). “L’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1366–1368. Zbl 0060.40801. 
  2. Leray, Jean (1946). “Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1419–1422. Zbl 0060.40802. 
  3. Massey, William S. (1952). “Exact couples in algebraic topology. I, II”. 《Annals of Mathematics (second series)》 (영어) 56 (2): 363–396. doi:10.2307/1969805. JSTOR 1969805. Zbl 0049.24002. 
  4. Massey, William S. (1953). “Exact couples in algebraic topology. III, IV, V”. 《Annals of Mathematics (second series)》 (영어) 57 (2): 248–286. doi:10.2307/1969858. JSTOR 1969858. Zbl 0049.24002. 
  5. Leray, J. (1949). 〈L’homologie filtrée〉. 《Topologie algébraique》. Colloques internationaux du CNRS (프랑스어) 12. 61–82쪽. MR 0035019. Zbl 0040.10001. 
  6. Miller, Haynes (2000). 〈Leray in Oflag XVIIA: the origins of sheaf theory, sheaf cohomology, and spectral sequences〉 (PDF). J.-M. Kantor. 《Jean Leray (1906–1998)》. Gazette des Mathématiciens (영어). Société Mathématique de France. 17–34쪽. ISBN 2-85629-089-2. ISSN 0224-8999. 
  7. Chow, Timothy Y. (2006년 1월). “You could have invented spectral sequences” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (1): 15–19. MR 2189946. 
  8. Serre, Jean-Pierre (1950). “Homologie singulière des espaces fibrés I. La suite spectrale”. 《Comptes rendus de l'Académie des sciences》 (프랑스어) 231: 1408–1410. MR 0039253. Zbl 0039.39702. 
  9. Vakil, Ravi (2008년 3월 12일). “Spectral sequences: friend or foe?” (PDF) (영어). 

바깥 고리