스펙트럼 열: 두 판 사이의 차이
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그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 <math>r</math>에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 <math>r_0,r_0+1,\dots</math>인 "책"을 이루며, 책의 <math>r\ge r_0</math>번째 쪽에는 <math>(p,q)</math>에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다. |
그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 <math>r</math>에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 <math>r_0,r_0+1,\dots</math>인 "책"을 이루며, 책의 <math>r\ge r_0</math>번째 쪽에는 <math>(p,q)</math>에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다. |
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=== 수렴과 퇴화 === |
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스펙트럼 열 <math>E_r^{p,q}</math>이 주어졌다고 하자. 만약 각 <math>(p,q)</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 <math>r_0(p,q)</math>가 존재한다고 하자. |
스펙트럼 열 <math>E_r^{p,q}</math>이 주어졌다고 하자. 만약 각 <math>(p,q)</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 <math>r_0(p,q)</math>가 존재한다고 하자. |
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:<math>d_r^{p-r,q+r+1}=0\qquad\forall r\ge r_0(p,q)</math> |
:<math>d_r^{p-r,q+r+1}=0\qquad\forall r\ge r_0(p,q)</math> |
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=== 5항 완전열 === |
=== 5항 완전열 === |
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==== 코호몰로지 5항 완전열 ==== |
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수렴하는 스펙트럼 열 |
수렴하는 스펙트럼 열 |
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:<math>E^{p,q}_2\Rightarrow_p E_\infty^{p+q}</math> |
:<math>E^{p,q}_2\Rightarrow_p E_\infty^{p+q}</math> |
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이는 구체적으로 다음과 같다. 스펙트럼 열의 성분들이 오직 제1사분면에서만 자명하지 않으므로, |
이는 구체적으로 다음과 같다. 스펙트럼 열의 성분들이 오직 제1사분면에서만 자명하지 않으므로, |
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:<math>E_2^{1,0}\cong F^1E_\infty^1</math> |
:<math>E_2^{1,0}\cong E_\infty^{1,0}=\frac{F^1E_\infty^1}{F^2E_\infty^1}=F^1E_\infty^1</math> |
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:<math>\ker d_2^{0,1}\cong E_\infty^1 |
:<math>\ker d_2^{0,1}\cong E_\infty^{0,2}=\frac{F^0E_\infty^1}{F^1E_\infty^1}=\frac{E_\infty^1}{F^1E_\infty^1}</math> |
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:<math>\operatorname{coker} d_2^{0,1}\cong F^2E_\infty^2</math> |
:<math>\operatorname{coker} d_2^{0,1}\cong E_\infty^{2,0}=\frac{F^2E_\infty^2}{F^3E_\infty^2}=F^2E_\infty^2</math> |
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이다. 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다. |
이다. 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다. |
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:<math>0\to E_2^{1,0}\cong F^1E_\infty^1\hookrightarrow E_\infty^1\to E_\infty^1 |
:<math>0\to E_2^{1,0}\cong F^1E_\infty^1\hookrightarrow E_\infty^1\to \frac{E_\infty^1}{F^1E_\infty^1} |
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\cong \ker d_2^{0,1}\hookrightarrow E_2^{0,1}\xrightarrow{d_2^{0,1}} E_2^{2,0} \twoheadrightarrow\operatorname{coker} d_2^{0,1} \cong F^2 E^2_\infty \hookrightarrow E^2_\infty</math> |
\cong \ker d_2^{0,1}\hookrightarrow E_2^{0,1}\xrightarrow{d_2^{0,1}} E_2^{2,0} \twoheadrightarrow\operatorname{coker} d_2^{0,1} \cong F^2 E^2_\infty \hookrightarrow E^2_\infty</math> |
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여기서 <math>\ker d_2^{0,1}</math>와 <math>\operatorname{coker} d_2^{0,1}</math>을 생략하면 5항 완전열을 얻는다. |
여기서 <math>\ker d_2^{0,1}</math>와 <math>\operatorname{coker} d_2^{0,1}</math>을 생략하면 5항 완전열을 얻는다. |
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==== 호몰로지 5항 완전열 ==== |
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마찬가지로, 수렴하는 호몰로지 스펙트럼 열 |
마찬가지로, 수렴하는 호몰로지 스펙트럼 열 |
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:<math>E^2_{p,q}\Rightarrow_p E^\infty_{p+q}</math> |
:<math>E^2_{p,q}\Rightarrow_p E^\infty_{p+q}</math> |
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이 주어졌고, <math>p<0</math> 또는 <math>q<0</math>이라면 그 성분이 자명하다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 '''5항 [[완전열]]'''이 존재한다. |
이 주어졌고, <math>p<0</math> 또는 <math>q<0</math>이라면 그 성분이 자명하다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 '''5항 [[완전열]]'''이 존재한다. |
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:<math>E_2^\infty \to E_{2,0 |
:<math>E_2^\infty \to E_{2,0}^2\xrightarrow{\partial^2_{2,0}} E_{0,1}^2\to E_1^\infty \to E_{1,0}^2\to 0</math> |
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이는 구체적으로 다음과 같다. 스펙트럼 열의 성분들이 오직 제1사분면에서만 자명하지 않으므로, |
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:<math>E^2_{1,0}\cong E^\infty_{1,0}=\frac{F_1E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}=\frac{E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}</math> |
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:<math>\ker\partial^2_{2,0}\cong E_{2,0}^\infty =\frac{F_2E^\infty_2}{F_1E^\infty_2} =\frac{E^\infty_2}{F_1E^\infty_2}</math> |
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:<math>\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}\cong E_{0,1}^\infty=\frac{F_0E_\infty^2}{F_{-1}E_\infty^2}=F_0E_\infty^2</math> |
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이다. 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다. |
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:<math>E_2^\infty \twoheadrightarrow \frac{E^\infty_2}{F_1E^\infty_2}\cong\ker\partial^2_{2,0} |
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\hookrightarrow E_{2,0}^2\xrightarrow{\partial^2_{2,0}} E_{0,1}^2\twoheadrightarrow\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}\cong F_0E_1^\infty\hookrightarrow E_1^\infty \twoheadrightarrow\frac{E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}\cong E_{1,0}^2\to 0</math> |
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여기서 <math>\ker\partial^2_{2,0}</math>와 <math>\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}</math>을 생략하면 5항 완전열을 얻는다. |
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== 구성 == |
== 구성 == |
2016년 1월 17일 (일) 19:04 판
호몰로지 대수학에서, 스펙트럼 열(spectrum列, 영어: spectral sequence)은 어떤 호몰로지 또는 코호몰로지에 대한 일련의 근사들을 나타내는 수학적 대상이다.
정의
어떤 아벨 범주 의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading) 을 가진다고 하자. 이 경우, (코호몰로지) 스펙트럼 열 는 다음과 같은 대상들로 이루어진다.
- 어떤 정수
- 모든 에 대하여, 의 대상
- 공경계 사상
이들은 다음을 만족시킨다.
- 모든 정수 에 대하여, 이다. 즉, 다음은 완전열을 이룬다.
- 이다.
호몰로지 스펙트럼 열의 경우 대신 로 쓰고, 이 경우 공경계 사상 대신 경계 사상
을 사용한다.
그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 인 "책"을 이루며, 책의 번째 쪽에는 에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.
수렴과 퇴화
스펙트럼 열 이 주어졌다고 하자. 만약 각 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 가 존재한다고 하자.
그렇다면, 주어진 에 대하여 는 충분히 큰 에 대하여 같아진다. 이를 라고 하고, 가 여과 지표(영어: filtration index) 에 대하여 로 수렴(영어: converge, abut)한다고 한다. 이는 기호로 다음과 같이 적는다.
보통 는 여과 가 갖추어져 있는 대상 으로부터 다음과 같이 얻어진다.
이 경우 마찬가지로
로 표기한다.
스펙트럼 열 이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 정수 가 존재한다면, 가 에서 퇴화(영어: degenerate)한다고 한다.
스펙트럼 열이 퇴화하는 것은 스펙트럼 열이 수렴하는 것보다 더 강한 조건이다.
5항 완전열
코호몰로지 5항 완전열
수렴하는 스펙트럼 열
이 주어졌다고 하고, 또는 이라면 그 성분이 자명하다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전열이 존재한다.
이를 5항 완전열(五項完全列, 영어: five-term exact sequence)이라고 한다.
이는 구체적으로 다음과 같다. 스펙트럼 열의 성분들이 오직 제1사분면에서만 자명하지 않으므로,
이다. 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.
여기서 와 을 생략하면 5항 완전열을 얻는다.
호몰로지 5항 완전열
마찬가지로, 수렴하는 호몰로지 스펙트럼 열
이 주어졌고, 또는 이라면 그 성분이 자명하다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 5항 완전열이 존재한다.
이는 구체적으로 다음과 같다. 스펙트럼 열의 성분들이 오직 제1사분면에서만 자명하지 않으므로,
이다. 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.
여기서 와 을 생략하면 5항 완전열을 얻는다.
구성
스펙트럼 열은 보통 완전쌍이나 사슬 복합체의 여과로부터 발생한다.
완전쌍
어떤 아벨 범주 속에서의 완전쌍(完全雙, 영어: exact couple) 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 두 개의 대상 ,
- 사상
이들은
를 만족시켜야 한다. 즉, 다음 그림이 완전열을 이룬다.
완전쌍 의 유도 완전쌍(誘導完全雙, 영어: derived exact couple) 은 다음과 같은 완전쌍이다.
- 는 (모든 아벨 범주는 구체적 범주로 나타낼 수 있으므로) 이다. 이 경우, 의 선택이 상관없음을 보일 수 있다.
- 는 에 의하여 유도된다. 즉, 이다. 이 경우, 이므로 항상 인 가 존재하며, 따라서 이다.
이를 반복하여, 차 유도 완전쌍 을 정의할 수 있다. 그렇다면,
는 스펙트럼 열을 이룬다. (보통, 및 는 두 개의 등급을 갖는다.) 알려진 대부분의 스펙트럼 열은 이와 같이 완전쌍으로부터 유도된다.
여과 복합체의 스펙트럼 열
사슬 복합체 에 증가하는 여과 가 주어졌다고 하자. 즉,
라고 하자. 또한, 경계 가 여과와 호환된다고 하자. 즉,
이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 완전 그림이 존재한다.
여기에
를 정의한다면,
를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 스펙트럼 열을 정의할 수 있다.
예
가 CW 복합체이며, 가 그 차원 뼈대라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전 도형이 존재한다.
이에 따라,
로 놓으면,
를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 유도되는 스펙트럼 열은 에서 끝난다. 이를 통해, 세포 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 동형임을 보일 수 있다.
역사
장 르레가 1946년 층 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다.[1][2] 이는 오늘날 르레 스펙트럼 열(영어: Leray spectral sequence)로 불리며, 유도 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열(영어: Grothendieck spectral sequence)의 특수한 경우다. 그 뒤, 세르 스펙트럼 열(Serre spectral sequence), 아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열(Atiyah–Hirzebruch spectral sequence) 등 스펙트럼 열의 다른 많은 예들이 발견되었다. 윌리엄 매시(영어: William Massey)는 완전쌍(영어: exact couple)이라는, 스펙트럼 열을 정의하는 일반적인 방법을 발견하였다.[3][4]
르레는 원래 "스펙트럼 열"이라는 용어를 사용하지 않았으나, 1949년 논문에서 최초로 "스펙트럼 환"(프랑스어: anneau spectral)라는 용어를 사용하였고,[5][6][7] 이듬해 장피에르 세르가 이를 "스펙트럼 열"(프랑스어: suite spectrale)으로 개량하였다.[6][8] 존 매클리어리(영어: John McCleary)에 따르면, 아마 이 이름은 스펙트럼 열의 각 성분을 어떤 미분 연산자의 스펙트럼을 구성하는 고윳값에 비유하여 붙인 것이라고 한다.[7] 라비 바킬(영어: Ravi Vakil)은 스펙트럼 열(영어: spectral sequence 스펙트럴 시퀀스[*])이 이런 이름이 붙은 것은 마치 귀신(영어: specter 스펙터[*])처럼 "무시무시하고 사악하고 위험한"(영어: terrifying, evil, and dangerous) 대상이기 때문이라고 농으로 비유하였다.[9]
참고 문헌
- ↑ Leray, Jean (1946). “L’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1366–1368. Zbl 0060.40801.
- ↑ Leray, Jean (1946). “Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation”. 《Les Comptes rendus de l'Académie des science》 (프랑스어) 222: 1419–1422. Zbl 0060.40802.
- ↑ Massey, William S. (1952). “Exact couples in algebraic topology. I, II”. 《Annals of Mathematics (second series)》 (영어) 56 (2): 363–396. doi:10.2307/1969805. JSTOR 1969805. Zbl 0049.24002.
- ↑ Massey, William S. (1953). “Exact couples in algebraic topology. III, IV, V”. 《Annals of Mathematics (second series)》 (영어) 57 (2): 248–286. doi:10.2307/1969858. JSTOR 1969858. Zbl 0049.24002.
- ↑ Leray, J. (1949). 〈L’homologie filtrée〉. 《Topologie algébraique》. Colloques internationaux du CNRS (프랑스어) 12. 61–82쪽. MR 0035019. Zbl 0040.10001.
- ↑ 가 나 Miller, Haynes (2000). 〈Leray in Oflag XVIIA: the origins of sheaf theory, sheaf cohomology, and spectral sequences〉 (PDF). J.-M. Kantor. 《Jean Leray (1906–1998)》. Gazette des Mathématiciens (영어). Société Mathématique de France. 17–34쪽. ISBN 2-85629-089-2. ISSN 0224-8999.
- ↑ 가 나 Chow, Timothy Y. (2006년 1월). “You could have invented spectral sequences” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (1): 15–19. MR 2189946.
- ↑ Serre, Jean-Pierre (1950). “Homologie singulière des espaces fibrés I. La suite spectrale”. 《Comptes rendus de l'Académie des sciences》 (프랑스어) 231: 1408–1410. MR 0039253. Zbl 0039.39702.
- ↑ Vakil, Ravi (2008년 3월 12일). “Spectral sequences: friend or foe?” (PDF) (영어).
- McCleary, John (2001). 《A user’s guide to spectral sequences》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 58 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511626289. ISBN 978-0-52156141-9. MR 1793722. Zbl 0959.55001.
- McCleary, John (1999). 〈A history of spectral sequences: origins to 1953〉. 《History of topology》 (영어). North-Holland. 631–663쪽. doi:10.1016/B978-044482375-5/50024-9. ISBN 978-0-444-82375-5. MR 1721118. Zbl 0956.55003.
- Bott, Raoul; Tu, Loring W. 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285.
바깥 고리
- Renze, John. “Spectral sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Spectral sequence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Spectral sequence”. 《nLab》 (영어).
- “Exact couple”. 《nLab》 (영어).
- “Spectral sequence of a filtered complex”. 《nLab》 (영어).
- “Spectral sequence of a double complex”. 《nLab》 (영어).
- “Frölicher spectral sequence”. 《nLab》 (영어).
- “Hodge–de Rham spectral sequence”. 《nLab》 (영어).
- “Degeneration of Hodge to de Rham spectral sequence”. 《nLab》 (영어).