순환군: 두 판 사이의 차이
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임의의 순환군은 다음의 두가지 종류의 순환군 중 하나와 반드시 [[동형사상|동형]]이다. |
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* <math>Z = \{ \cdots, -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \}</math> |
* <math>Z = \{ \cdots, -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \}</math>. 이를 '''무한 순환군'''(無限循環群, {{llang|en|infinite cyclic group}})이라고 한다. |
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* <math>Z/nZ = \{ \bar{0}, \bar{1}, \cdots, \bar{n-1} \}</math>: 정수들의 집합을 <math>n</math>으로 나눈 나머지들의 집합. |
* <math>Z/nZ = \{ \bar{0}, \bar{1}, \cdots, \bar{n-1} \}</math>: 정수들의 집합을 <math>n</math>으로 나눈 나머지들의 집합. |
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<math>Z</math>는 원소의 갯수가 무한하다. 위수는 자연수 범위에서 정의되지 않으며 이를 <math>\infty</math>로 표기하기도 한다. |
<math>Z</math>는 원소의 갯수가 무한하다. 위수는 자연수 범위에서 정의되지 않으며 이를 <math>\infty</math>로 표기하기도 한다. |
2015년 11월 20일 (금) 06:43 판
군론에서, 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 하나의 원소에 의해 생성될 수 있는 군이다. 그 의미는 군이 한 원소 를 가지고 있고, 그 군의 모든 원소가 의 거듭제곱의 하나라는 것이다. 마찬가지로, 군 의 한 원소 가 를 생성하는 것은 를 포함하는 의 유일한 부분군(subgroup)이 자신일 때이다.
순환군을 생성하는 원소 를 생성원(generator)이라고 부르며, 이 항등원이 되는 가장 작은 자연수 을 그 순환군의 위수라고 정의한다.
분류
임의의 순환군은 다음의 두가지 종류의 순환군 중 하나와 반드시 동형이다.
- . 이를 무한 순환군(無限循環群, 영어: infinite cyclic group)이라고 한다.
- : 정수들의 집합을 으로 나눈 나머지들의 집합.
는 원소의 갯수가 무한하다. 위수는 자연수 범위에서 정의되지 않으며 이를 로 표기하기도 한다.
는 유한군으로, 위수(order)는 으로 원소의 갯수와 동일하다.
의 경우, 교과서에 따라서는 혹은 라고 표기하기도 한다. 그러나 의 경우, n-adic 수와 혼란을 줄 가능성이 있어서 어떤 수학자들은 이 표기에 대해서 동의하지 않기도 한다.
성질
바깥 고리
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Cyclic group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
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