외접원: 두 판 사이의 차이

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2015년 10월 13일 (화) 21:15 판

외접원이란, 어떤 2차원 다각형에 대해, 그 다각형의 꼭짓점들을 원주 위에 가지고 있는 원을 뜻한다. 그 원의 중심은 외심이라고 한다.

일반적으로 다각형에 외접원이 항상 존재하는 것은 아니다.하지만 삼각형은 항상 존재한다.

모든 삼각형에는 외심이 항상 존재하고, 그 점은 각 변의 수직이등분선의 교점이다. 그리고 외접원에 둘러싸여 있기 때문에 삼각형의 각 꼭짓점에서 외심까지의 길이는 외접원의 반지름과 일치하므로 같다.

이것을 증명하려면, 어떠한 변의 수직이등분선은 하나밖에 존재하지 않는다는 것을 이용하여, 두 수직이등분선의 교점에서 나머지 한 변에 내린 수선이 그 변을 이등분한다는 것을 보이면 된다.

삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기를 각각 a, b, c, A, B, C라 하고, 외접원의 반지름 길이를 R이라 할 때, ${\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {b}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}=2R$ 이 성립한다.

삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c라 하고, 외접원의 반지름 길이를 R이라 할 때, 삼각형의 넓이 S는

$S={\frac {abc}{4R}}$ 이 성립한다.

증명은 다음과 같다.

 $S={\frac {1}{2}}ab\sin {C}$ (삼각형의 넓이)
 $\sin {C}={\frac {c}{2R}}$ (사인 법칙)
따라서,
 $S={\frac {abc}{4R}}$

삼각형 ABC와 그 외접원 위의 점 D, BC위의 점 E에 대해, 다음 세 조건 중 하나를 만족하면 $AB*AC=AD*AE$ 이다.

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 내심과 외심 사이 거리는 ${\sqrt {R^{2}-2Rr}}$ 이다.

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 R은 2r보다 같거나 크다.

사각형 ABCD에 원이 외접하려면 다음 조건 중 하나를 만족하여야 한다.

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 '''외접원'''이란, 어떤 [[2차원]] [[다각형]]에 대해, 그 다각형의 꼭짓점들을 원주 위에 가지고 있는 [[원 (기하)|원]]을 뜻한다. 그 원의 중심은 '''외심'''이라고 한다.
-일반적으로 다각형에 외접원이 항상 존재하는 것은 아니다.
+일반적으로 다각형에 외접원이 항상 존재하는 것은 아니다.하지만 삼각형은 항상 존재한다.
 == 삼각형의 외접원 ==

v t e 삼각형의 중심
오심	내심 외심 방심 무게 중심 수심
다른 중요한 중심들	구점원의 중심 대칭 중점 제르곤 점 나겔 점 Mittenpunkt 슈피커 중심 포이어바흐 점 페르마 점 Isodynamic points Napoleon points Steiner point