계차수열: 두 판 사이의 차이
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'''계차수열'''이란 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 [[수열]] |
'''계차수열'''(階差數列)이란 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 [[수열]]이다. 예를 들어 수열 |
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:<math>1,4,9,16,\ldots,n^2,\ldots</math> |
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<math>a_{n+1}-a_n=b_n (n=1,2,3,...)</math> 을 만족하는 수열 <math>{b_n}</math>을 수열 <math>{a_n}</math>의 '''계차수열'''이라 한다. 이때, |
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:<math>a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k</math> (단, <math>n \ge 2</math>) |
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이다. |
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의 계차수열은 |
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다른 형태로, <math>a_n-a_{n-1}=b_n (n=1,2,3,...)</math>로 표현하기도 하며, 이때 |
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:<math>a_n=a_1+\sum_{k=2}^{n} b_k</math> (단, <math>n \ge 2</math>)이 성립한다. |
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:<math>4-1,9-4,16-9,\ldots,(n+1)^2-n^2,\ldots</math> |
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즉 |
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:<math>3,5,7,\ldots,2n+1,\ldots</math> |
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과 같다. |
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계차수열은 [[등차수열]], 나아가 고계등차수열을 정의하는 데에 쓸 수 있다. |
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== 정의 == |
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수열 <math>\{a_n\}</math>의 '''계차수열'''은 다음과 같은 수열 <math>\{\Delta a_n\}</math>이다.<ref name="WQ">{{저널 인용|저자=吴强|연도=2008|편집자=张飞羽|제목=阶差数列的几个性质及其应用|번역제목=계차수열의 몇가지 성질과 그 응용|언어=zh|저널=河西学院学报|호=2|총서=24|쪽=6–9}}</ref> |
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:<math>\Delta a_n=a_{n+1}-a_n</math> |
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또, <math>\{\Delta a_n\}</math>의 계차수열 |
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:<math>\Delta(\Delta a_n)=\Delta a_{n+1}-\Delta a_n</math> |
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을 '''2-계차수열'''이라고 하고, <math>\{\Delta^2 a_n\}</math>으로 표기한다. |
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비슷하게 임의의 자연수 {{수학|''k''}}에 대하여 '''{{수학|''k''}}-계차수열''' <math>\Delta^k a_n</math>을 정의할 수 있다.<ref name="WQ" /> |
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:<math>\Delta^k a_n=\begin{cases} |
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a_n, & k=0 \\ |
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\Delta(\Delta^{k-1}a_n)=\Delta^{k-1}a_{n+1}-\Delta^{k-1}a_n, & k\ge 1 |
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\end{cases}</math> |
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위에서 알 수 있듯이, <math>a_n</math>의 0-계차수열은 자기 자신, 1-계차수열은 <math>\Delta a_n</math>이다. |
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== 예 == |
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* 수열 1, 3, 5, 7, ...과 2, 4, 6, 8, ...의 계차수열은 모두 2, 2, 2, 2, ...이다. |
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* 수열 9, 99, 999, 9999, ...의 계차수열은 90, 900, 9000, ...이다. 2-계차수열은 810, 8100, ...이다. |
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* [[피보나치 수열]] 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...의 계차수열은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...(피보나치 수열 앞에 0을 붙인 것)이다. |
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* 주어진 수열 {{수학|''a<sub>n</sub>''}}의 합 {{수학|1=''S<sub>n</sub>'' = ''a<sub>1</sub>'' + … + ''a<sub>n</sub>''}}의 계차수열은 {{수학|''a<sub>2</sub>'', ''a<sub>3</sub>'', ''a<sub>4</sub>'', ...}}이다. |
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* 등차수열 {{수학|''a'', ''a'' + ''d'', ''a''+ 2''d'', ...}}의 계차수열은 상수열 {{수학|''d'', ''d'', ''d'', ...}}이다. 특별히, 상수열 {{수학|''c'', ''c'', ''c'', ...}}의 계차수열은 0, 0, 0, ...이다. |
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== 성질 == |
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수열 <math>\{a_n\}</math>과 그의 계차수열 <math>\{\Delta a_n\}</math>에 대하여, 다음의 관계가 성립한다. |
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:<math>a_n=a_1+\Delta a_1+\Delta a_2+\cdots+\Delta a_{n-1}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\Delta a_k</math> |
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즉, 수열은 초항과 1-계차수열에 의해 확정된다. 더 나아가, 수열은 0, 1, 2, ...-계차수열의 초항에 의해 다음과 같은 방식으로 확정된다.<ref name="WQ" /> |
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:<math>a_n={n-1\choose 0}a_1+{n-1\choose 1}\Delta a_1+{n-1\choose 2}\Delta^2 a_1+\cdots+{n-1\choose n-1}\Delta^{n-1}a_1=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}\Delta^k a_1</math> |
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여기서 <math>{n-1\choose k}</math>는 <math>n-1</math>의 대상 중에서 <math>k</math> 개를 고른 [[조합수]]이다. |
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위에 적은 홀수열 1, 3, ...과 짝수열2, 4, ...처럼, 1-계차수열이 같더라도, 수열의 초항에 따라 다른 수열이 될 수 있다. |
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수열의 단조성은 계차수열과 연관있다. |
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* 수열 <math>\{a_n\}</math>이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은, 계차수열의 모든 항이 음이 아닌 실수인 것이다. |
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*:<math>\Delta a_n\ge 0</math> |
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* 수열 <math>\{a_n\}</math>이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, 계차수열의 모든 항이 양이 아닌 실수인 것이다. |
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*:<math>\Delta a_n\le 0</math><!-- |
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== 고계등차수열 == --> |
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== 각주 == |
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{{각주}} |
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[[분류:수열]] |
[[분류:수열]] |
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[[분류:초등 수학]] |
2015년 8월 29일 (토) 17:09 판
계차수열(階差數列)이란 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 수열이다. 예를 들어 수열
의 계차수열은
즉
과 같다.
계차수열은 등차수열, 나아가 고계등차수열을 정의하는 데에 쓸 수 있다.
정의
수열 의 계차수열은 다음과 같은 수열 이다.[1]
또, 의 계차수열
을 2-계차수열이라고 하고, 으로 표기한다.
비슷하게 임의의 자연수 k에 대하여 k-계차수열 을 정의할 수 있다.[1]
위에서 알 수 있듯이, 의 0-계차수열은 자기 자신, 1-계차수열은 이다.
예
- 수열 1, 3, 5, 7, ...과 2, 4, 6, 8, ...의 계차수열은 모두 2, 2, 2, 2, ...이다.
- 수열 9, 99, 999, 9999, ...의 계차수열은 90, 900, 9000, ...이다. 2-계차수열은 810, 8100, ...이다.
- 피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...의 계차수열은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...(피보나치 수열 앞에 0을 붙인 것)이다.
- 주어진 수열 an의 합 Sn = a1 + … + an의 계차수열은 a2, a3, a4, ...이다.
- 등차수열 a, a + d, a+ 2d, ...의 계차수열은 상수열 d, d, d, ...이다. 특별히, 상수열 c, c, c, ...의 계차수열은 0, 0, 0, ...이다.
성질
수열 과 그의 계차수열 에 대하여, 다음의 관계가 성립한다.
즉, 수열은 초항과 1-계차수열에 의해 확정된다. 더 나아가, 수열은 0, 1, 2, ...-계차수열의 초항에 의해 다음과 같은 방식으로 확정된다.[1]
여기서 는 의 대상 중에서 개를 고른 조합수이다.
위에 적은 홀수열 1, 3, ...과 짝수열2, 4, ...처럼, 1-계차수열이 같더라도, 수열의 초항에 따라 다른 수열이 될 수 있다.
수열의 단조성은 계차수열과 연관있다.