직교군

군론에서, 직교군(直交群, 영어: orthogonal group)은 주어진 체에 대한 직교행렬의 리 군이다.

정의

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위에 비퇴화 대칭 이중 선형 형식

$Q\colon V\times V\to V$

가 주어졌다고 하자. (만약 $K$의 표수가 2가 아니라면, 이는 $V$ 위의 이차 형식과 같다.) 그렇다면, 직교군 $\operatorname {O} (V,Q)$는 $V$ 위의 가역 선형 변환들 가운데, $Q$를 보존하는 것들로 구성된 군이다.

$\operatorname {O} (V,Q)=\{M\in \operatorname {GL} (V)\colon Q(u,v)=Q(Mu,Mv)\forall u,v\in V\}$

이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 $K$에 대한 대수군이다. 또한, 만약 $K$가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 리 군을 이룬다.

만약 $V$가 $n$차원 벡터 공간이며, $Q$가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 $\operatorname {O} (n;K)$로 쓴다.

실수체 $K=\mathbb {R}$ 위에서는 비퇴화 이차 형식은 계량 부호수 $(p,q)$에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 $\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )$와 같이 쓴다.

특수직교군

직교군에서 2차 순환군으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$D\colon \operatorname {O} (n;K)\to \mathbb {Z} /2$

$D\colon M\mapsto \operatorname {rank} (1-M){\pmod {2}}$.

이 준동형을 딕슨 불변량(Dickson不變量, 영어: Dickson invariant)이라고 한다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면 이는 행렬식 $\det \colon \operatorname {O} (n;K)\to \{\pm 1\}$과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)

특수직교군(特殊直交群, 영어: special orthogonal group) $\operatorname {SO} (n;F)$는 딕슨 불변량의 핵이다.

$\operatorname {SO} (n;K)=\ker D=\operatorname {O} (n;K)/(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$.

즉, 딕슨 불변량이 0인 직교행렬의 리 군이다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.

$1\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \operatorname {O} (n;K)\to \operatorname {SO} (n;K)\to 1$.

스핀 군과 핀 군

특수직교군 $\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )$에 대하여, 그렇다면 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군 $\operatorname {Spin} (n)$이 존재한다.

$1\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\to 1$.

이 리 군을 스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.

$n>2$일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 전피복공간(universal cover)이다. ($n=2$일 경우는 물론 $\operatorname {SO} (2)=\operatorname {U} (1)$이고, 그 전피복공간은 $\mathbb {R}$이다.)

마찬가지로, 직교군의 두 겹 피복군인 핀 군(영어: pin group)을 정의할 수 있다. 스핀 군과 핀 군은 다음과 같은 가환 그림을 만족시키며, 이 가환 그림에서 모든 행과 열은 짧은 완전열을 이룬다.

${\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\mathbb {Z} /2&=&\mathbb {Z} /2\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (n)&\to &\operatorname {Pin} (n)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\|\\1&\to &\operatorname {SO} (n)&\to &\operatorname {O} (n)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1\end{matrix}}$

직교 리 대수

실수체 또는 복소수체 위의 직교군은 리 군을 이루며, 이에 대응하는 리 대수를 정의할 수 있다. 이는 ${\mathfrak {so}}(n;K)$ 또는 ${\mathfrak {o}}(n;K)$와 같이 쓴다 ($K=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$).

${\mathfrak {so}}(n;\mathbb {R} )$는 $n\times n$ 정사각 실수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이며, ${\mathfrak {so}}(n;\mathbb {C} )$는 정사각 복소수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이다.

${\mathfrak {so}}(n;K)=\{M\in \operatorname {Mat} (n;K)\colon M^{\top }=-M\}$

성질

군론적 성질

체 $K$에 대한 직교군의 중심은 다음과 같다.

$\operatorname {Z} (\operatorname {O} (n;K))=\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}$

만약 $K$의 표수가 2가 아니라면, 중심의 크기는 2이며, 만약 $K$의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때, 만약 $n$이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만, $n$이 홀수라면 그렇지 않다.

$\operatorname {Z} (\operatorname {SO} (n;K))={\begin{cases}\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}&2\mid n\\\{1_{n\times n}\}&2\nmid n\end{cases}}\qquad (\operatorname {char} K\neq 2)$

중심에 대하여 몫군을 취하면, 사영 직교군(영어: projective orthogonal group)

$\operatorname {PO} (n;K)=\operatorname {O} (n;K)/\operatorname {Z} (\operatorname {O} (n;K))$

을 얻는다.

리 이론적 성질

복소수 리 군 $\operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )$는 $n\neq 4$일 경우 단순 리 군이다. 단순 리 군의 분류에서, 이는 만약 $n=2k+1$이라면 $B_{k}$에, 만약 $n=2k$라면 $D_{k}$에 해당하며, 그 딘킨 도형은 다음과 같다.

$B_{k}\colon \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \Rightarrow \bullet$

$D_{k}\colon \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \langle {\bullet \atop \bullet }$

$\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )$는 $\operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )$의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는 $\operatorname {SO} (k,k;\mathbb {R} )$이며, 홀수 차수에서는 $\operatorname {SO} (k+1,k;\mathbb {R} )$이다.

$\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )$의 최대 원환면(영어: maximal torus)은 다음과 같다.

${\begin{pmatrix}R_{1}&&0\\&\ddots \\0&&R_{k}\end{pmatrix}}$

여기서

$R_{i}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\end{pmatrix}}$

는 2×2 회전 행렬이다. $\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )$의 최대 원환면은 다음과 같다.

${\begin{pmatrix}R_{1}&&&0\\&\ddots \\&&R_{k}\\0&&&1\end{pmatrix}}$

$\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )$의 바일 군은 반직접곱

$\{\pm 1\}^{k}\rtimes \operatorname {Sym} (k)$

이다. 여기서 $s=(s_{1},\dots ,s_{k})\in \{\pm 1\}^{k}$는

$s\colon \theta _{i}\mapsto s_{i}\theta _{i}$

와 같이 작용하며, 순열 $\sigma \in \operatorname {Sym} (k)$는

$\sigma \colon \theta _{i}\mapsto \theta _{\sigma (i)}$

와 같이 작용한다.

위상수학적 성질

실수 직교군 $\operatorname {O} (n;\mathbb {R} )$은 $n(n-1)/2$차원의 리 군이며, 콤팩트 공간이다. 두 개의 연결 성분을 가지며, 이들은 각각 행렬식 $\det M=\pm 1$인 실수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 연결 공간인 실수 특수직교군 $\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )$를 이룬다.

복소수 직교군 $\operatorname {O} (n;\mathbb {C} )$은 복소수 $n(n-1)/2$차원(실수 $n(n-1)$차원)의 복소수 리 군이자 대수군이다. $n\geq 2$인 경우, 복소수 직교군은 콤팩트하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지며, 이는 각각 행렬식이 $\det M=\pm 1$인 복소수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군 $\operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )$를 이룬다.

실수 또는 복소수 특수직교군의 기본군은 다음과 같다.

$\pi _{1}(\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} ))\cong \pi _{1}(\operatorname {SO} (n;\mathbb {C} ))\cong {\begin{cases}1&n=1\\\mathbb {Z} &n=2\\\mathbb {Z} /2&n>2\end{cases}}$

이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면 $n=2$에서는 $\mathbb {R}$를, $n>2$에서는 스핀 군 $\operatorname {Spin} (n)$을 얻는다.

부정부호 실수 직교군 $\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )$ ($p,q>0$)는 네 개의 연결 성분을 가지며,

$\pi _{0}(\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} ))=(\mathbb {Z} /2)^{2}$

이다. 여기서 한 $\mathbb {Z} /2$는 $p$차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는 $q$차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다. $\operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )$는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우

$\pi _{0}(\operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} ))=\{(1,1),(-1,-1)\}\subset \pi _{0}(\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} ))$

이다. $\operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )$의 연결 부분군을 $\operatorname {SO} ^{+}(p,q;\mathbb {R} )$라고 한다.

부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.

$\pi _{1}(\operatorname {SO} ^{+}(p,q;\mathbb {R} ))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (p;\mathbb {R} ))\times \pi _{1}(\operatorname {SO} (q;\mathbb {R} ))$

보트 주기성

호프 올뭉치

$\operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}$

로 인하여, 만약 $i<n-1$이라면

$\pi _{i}(\operatorname {O} (n))\cong \pi _{i}(\operatorname {O} (n+1))$

이다.^:112 즉, 직교군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.^:113

$\pi _{i}(\operatorname {O} (n))={\begin{cases}0&i\equiv 2,4,5,6{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /2&i\equiv 0,1{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} &i\equiv 3,7{\pmod {8}}\end{cases}}\qquad (i<n-1)$

이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다.

이에 따라, 다음과 같은 무한 직교군 $\operatorname {O} (\infty )$을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

$\operatorname {O} (\infty )=\varinjlim _{n}\operatorname {O} (n)$

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

$\pi _{i}(\operatorname {O} (\infty ))={\begin{cases}0&i\equiv 2,4,5,6{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /2&i\equiv 0,1{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} &i\equiv 3,7{\pmod {8}}\end{cases}}$

이에 따라, 무한 직교군은 스스로의 8차 고리 공간과 호모토피 동치이다.^{:112, Theorem 1}

$\operatorname {O} (\infty )\simeq \Omega ^{8}\operatorname {O} (\infty )$

무한 차원 분해 가능 실수 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$의 직교군 $\operatorname {O} ({\mathcal {H}})$는 $\operatorname {O} (\infty )$와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, $\operatorname {O} ({\mathcal {H}})$는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.

$\pi _{i}(\operatorname {O} ({\mathcal {H}}))=0\quad \forall i$

포함 관계

모든 $n$에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

$\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {USp} (2n)$

$\operatorname {SU} (n;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SO} (2n)$

$\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SO} (n+1;\mathbb {R} )$

또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

$\operatorname {Spin} (3)\subset G_{2}$

$\operatorname {Spin} (9)\subset F_{4}$

$\operatorname {Spin} (10)\subset E_{6}$

$\operatorname {Spin} (12)\subset E_{7}$

$\operatorname {Spin} (16)\subset E_{8}$

6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)을 보인다.

$\operatorname {O} (1)\cong \operatorname {Spin} (1)\mathbb {Z} /2$

$\operatorname {SO} (1)\cong 1$

$\operatorname {SO} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \mathbb {S} ^{1}$

$\operatorname {SO} (3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} (3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {PUSp} (2)\cong \mathbb {RP} ^{2}$

$\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {USp} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}$

$\operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\cong \left(\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\right)/(\mathbb {Z} /2)$

$\operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}$

$\operatorname {PSO} (4;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2)\times \operatorname {PSU} (2)$

$\operatorname {PSO} (4;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )$

$\operatorname {SO} ^{+}(3,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SO} (3;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PGL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSp} (2;\mathbb {C} )$

$\operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} (5;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PUSp} (4)$

$\operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {USp} (4)$

$\operatorname {SO} ^{+}(3,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSp} (4;\mathbb {R} )$

$\operatorname {SO} (6)\cong \operatorname {SU} (4)/(\mathbb {Z} /2)$

$\operatorname {PSO} (6)\cong \operatorname {PSU} (4)$

$\operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)$

$\operatorname {SO} ^{+}(5,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} ^{+}(5,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {H} )$

$\operatorname {SO} ^{+}(4,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SU} (2,2)/(\mathbb {Z} /2)$

$\operatorname {PSO} ^{+}(4,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2,2)$

$\operatorname {SO} ^{+}(3,3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} ^{+}(3,3)\cong \operatorname {PSL} (4;\mathbb {R} )$

유한체 위에서의 직교군

$\mathbb {F} _{q}$가 표수가 2가 아닌 유한체라고 하자. 이 경우, 비퇴화 대칭 이중 선형 형식은 정확히 두 개의 동형류가 있다. 이들은 +형과 −형이라고 불리며, 각각 다음과 같다.^:58

$f^{+}={\begin{cases}\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1,1)&q\equiv 1{\pmod {4}}\\\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1,\alpha ),\;\nexists \beta \in \mathbb {F} _{q}\colon \alpha =\beta ^{2}&q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}$

$f^{-}={\begin{cases}\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1,1)&q\equiv 3{\pmod {4}}\\\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1,\alpha ),\;\nexists \beta \in \mathbb {F} _{q}\colon \alpha =\beta ^{2}&q\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}$

만약 $q$가 소수인 경우, 이차 상호 법칙에 따라서 $q\equiv 1{\pmod {4}}$라는 조건은 −1이 제곱수라는 조건, 즉 −1이 제곱잉여라는 조건과 같다.

홀수 차원에서, 제곱수가 아닌 $\alpha \in \mathbb {F} _{q}$에 대하여 $f^{+}$와 $\alpha f^{-}$는 서로 동형이며, 따라서 이 경우 직교군 $\operatorname {O} (2k+1;\mathbb {F} _{q})$은 유일하다. 반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, $f^{\pm }$에 대응하는 직교군들은 각각 $\operatorname {O} ^{\pm }(2k;\mathbb {F} _{q})$라고 쓴다.^:69–75

표수가 2가 아닌 유한체 $\mathbb {F} _{q}$ ($q=p^{k}$, $p$ 소수)의 직교군의 크기는 다음과 같다.^{:72, (3.30)–(3.32)}

$|\operatorname {O} (2n+1;\mathbb {F} _{q})|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$

$|\operatorname {O} ^{+}(2n;\mathbb {F} _{q})|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$

$|\operatorname {O} ^{-}(2n;\mathbb {F} _{q})|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$

표수 2에서의 직교군

표수가 2인 체 위의 직교군은 다음과 같은 특수한 성질을 보인다.

• 표수가 2인 완전체 위의 홀수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군과 같다.
• 표수가 2인 체 위의 짝수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군의 부분군이다.

응용

직교군은 물리학에서 널리 응용된다. SO(3) 및 그 피복군 Spin(3)는 3차원 공간의 회전을 나타내며, 그 표현론은 양자역학에 핵심적이다.

특수 상대성 이론에서는 민코프스키 공간의 (중심을 고정시키는) 대칭군인 부정부호 직교군 O(3,1)이 핵심적인 역할을 하며, 이 군을 로런츠 군이라고 한다. 로런츠 군의 표현론은 상대론적 양자장론에서 핵심적이다. 더 시터르 공간 및 반 더 시터르 공간의 대칭군 역시 부정부호 직교군 O(4,1) 및 O(3,2)이다.

등각 장론에서, $(p,q)$-차원 시공간의 등각 대칭군은 $\operatorname {SO} (p+1,q+1)$이다. 이 대칭군이 반 더 시터르 공간의 대칭군과 같다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 핵심적인 역할을 한다.

이 밖에도, SO(10)은 대통일 이론의 게이지 군으로 쓰인다.

참고 문헌

• Grove, Larry C. (2002). 《Classical groups and geometric algebra》. Graduate Studies in Mathematics 39. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2019-3. MR 1859189. 
• Taylor, Donald E. (1992). 《The geometry of the classical groups》. Sigma Series in Pure Mathematics 9. Heldermann. ISBN 3-88538-009-9. MR 1189139. Zbl 0767.20001. 

바깥 고리

• “Orthogonal group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Spinor group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Todd Rowland. “Orthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “GeneralOrthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Special Orthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective general orthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective special orthogonal group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Orthogonal group”. 《nLab》 (영어). 
• “Orthogonal group of an inner product space”. 《nLab》 (영어). 
• “Special orthogonal group”. 《nLab》 (영어). 
• “Spin group”. 《nLab》 (영어). 
• “Stable orthogonal group”. 《nLab》 (영어). 
• “직교군과 직교리대수”. 
• Garrett, Paul (2015년 5월 7일). “Sporadic isogenies” (PDF). 

같이 보기

• 스핀 군
• 직교행렬
• 스피너