군론에서, 직교군(直交群, 영어: orthogonal group)은 주어진 체에 대한 직교행렬의 리 군이다.
정의
체 위의 유한 차원 벡터 공간 위에 비퇴화 대칭 이중 선형 형식
가 주어졌다고 하자. (만약 의 표수가 2가 아니라면, 이는 위의 이차 형식과 같다.) 그렇다면, 직교군 는 위의 가역 선형 변환들 가운데, 를 보존하는 것들로 구성된 군이다.
이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 에 대한 대수군이다. 또한, 만약 가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 리 군을 이룬다.
만약 가 차원 벡터 공간이며, 가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 로 쓴다.
실수체 위에서는 비퇴화 이차 형식은 계량 부호수 에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 와 같이 쓴다.
특수직교군
직교군에서 2차 순환군으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.
- .
이 준동형을 딕슨 불변량(Dickson不變量, 영어: Dickson invariant)이라고 한다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면 이는 행렬식 과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)
특수직교군(特殊直交群, 영어: special orthogonal group) 는 딕슨 불변량의 핵이다.
- .
즉, 딕슨 불변량이 0인 직교행렬의 리 군이다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.
- .
성질
군론적 성질
체 에 대한 직교군의 중심은 다음과 같다.
만약 의 표수가 2가 아니라면, 중심의 크기는 2이며, 만약 의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때, 만약 이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만, 이 홀수라면 그렇지 않다.
중심에 대하여 몫군을 취하면, 사영 직교군(영어: projective orthogonal group)
을 얻는다.
리 이론적 성질
복소수 리 군 는 일 경우 단순 리 군이다. 단순 리 군의 분류에서, 이는 만약 이라면 에, 만약 라면 에 해당하며, 그 딘킨 도형은 다음과 같다.
는 의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는 이며, 홀수 차수에서는 이다.
의 최대 원환면(영어: maximal torus)은 다음과 같다.
여기서
는 2×2 회전 행렬이다. 의 최대 원환면은 다음과 같다.
의 바일 군은 반직접곱
이다. 여기서 는
와 같이 작용하며, 순열 는
와 같이 작용한다.
위상수학적 성질
실수 직교군 은 차원의 리 군이며, 콤팩트 공간이다. 두 개의 연결 성분을 가지며, 이들은 각각 행렬식 인 실수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 연결 공간인 실수 특수직교군 를 이룬다.
복소수 직교군 은 복소수 차원(실수 차원)의 복소수 리 군이자 대수군이다. 인 경우, 복소수 직교군은 콤팩트하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지며, 이는 각각 행렬식이 인 복소수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군 를 이룬다.
실수 또는 복소수 특수직교군의 기본군은 다음과 같다.
이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면 에서는 를, 에서는 스핀 군 을 얻는다.
부정부호 실수 직교군 ()는 네 개의 연결 성분을 가지며,
이다. 여기서 한 는 차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는 차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다. 는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우
이다. 의 연결 부분군을 라고 한다.
부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.
포함 관계
모든 에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)을 보인다.
유한체 위에서의 직교군
가 표수가 2가 아닌 유한체라고 하자. 이 경우, 짝수 차원에서 이차 형식은 정확히 두 개의 동형류가 있으며, 홀수 차원에서는 한 개의 동형류가 있으며, 이에 대응하는 직교군들은 및 라고 쓴다.[1]:69–75
표수가 2가 아닌 유한체 (, 소수)의 직교군의 크기는 다음과 같다.
만약 가 소수인 경우 (), −1이 제곱수라는 조건은 −1이 제곱잉여라는 조건이다. 이는 이차 상호 법칙에 따라서 라는 조건과 동치이다.
표수 2에서의 직교군
표수가 2인 체 위의 직교군은 다음과 같은 특수한 성질을 보인다.
바깥 고리
같이 보기