대수다양체

이 문서는 대수기하학에서 방정식의 해의 집합에 관한 것입니다. 일련의 항등식들을 만족시키는 대수 구조들의 모임에 대해서는 대수 구조 다양체 문서를 참고하십시오.

대수기하학에서, 대수다양체(代數多樣體, 영어: algebraic variety)는 국소적으로 다항식들로 주어지는 방정식들의 영점 집합처럼 보이는 공간이다. 고전적 대수기하학에서 다루는 기본적인 대상이다.

정의

$K$가 대수적으로 닫힌 체라고 하자.

층 이론을 통한 정의

다항식환 $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\subseteq K[x_{1},\dots ,x_{n}]$에 대하여,

$V({\mathfrak {p}})=\{x\in K^{n}\colon p(x)=0\forall p\in {\mathfrak {p}}\}$

라고 하자. 이 위에는 자리스키 위상 및 다항함수들의 층 ${\mathcal {O}}_{V({\mathfrak {p}})}$을 정의할 수 있다.

$K$에 대한 대수다양체 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$는 다음과 같은 순서쌍이다.^{:32, Definition 2.4.1, 2.4.4}

• $X$는 위상 공간이다.
• ${\mathcal {O}}_{X}$는 $X$ 위의, 결합 가환 $K$-대수들의 층이다.

이 데이터는 다음 세 조건들을 만족시켜야 한다.

• (국소 아핀 조건) $X$ 위에, 다음 조건을 만족시키는 열린 덮개 $\{U_{i}\}_{i\in I}$가 존재한다.
  • 각 $i\in I$에 대하여, $(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}|_{U_{i}})$는 $K^{n}$ 위의 어떤 아이디얼 ${\mathfrak {p}}_{i}\subset K[x_{1},\dots ,x_{n}]$과 동형이다.
• (기약성) $X$는 기약 공간이다.
• (분리성) 대각 부분 집합 $\Delta \subset X\times X$가 닫힌 집합이다.

국소적으로 아핀 대수다양체와 동형인 환 달린 공간이다. 즉, 환 달린 공간 $X$ 위에 열린 덮개 $\{U_{\alpha }\}$가 존재하여, $U_{\alpha }$ 각각이 아핀 대수다양체를 이루는 경우다.

스킴 이론을 통한 정의

이 정의는 스킴 이론을 사용하여 서술할 수 있다. 대수적으로 닫힌 체 $K$에 대하여, $K$-대수다양체는 다음 조건들을 모두 만족시키는 $K$-스킴 $X\to \operatorname {Spec} K$이다.^:105

• 기약 스킴이다. 이는 대수다양체를 기약 대수 집합으로 국한시키는 것이며, 위상 공간으로서의 연결성보다 더 강한 조건이다.
• 축소 스킴이다. 이는 $K[x,y]/(y^{2})$와 같은 멱영원의 부재를 의미한다. 이러한 멱영원은 기하학적으로 싹으로 해석할 수 있다.
• 분리 스킴이다. 예를 들어, 두 개의 아핀 직선 $\mathbb {A} _{K}^{1}$을, 0을 제외한 열린 집합 $\mathbb {A} _{K}^{1}\setminus \{0\}$에서 이어붙여, 원점이 두 개가 있는 아핀 직선을 만들 수 있는데, 이는 분리 스킴이 아니다.^{:75–76, Example 2.3.6} 이는 위상 공간의 하우스도르프 조건에 대응한다.
• 사상 $X\to \operatorname {Spec} K$는 유한형 사상이다. 이는 대수다양체가 국소적으로 다항식환 $K[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$의 몫대수의 꼴임을 뜻하며, 이에 따라 대수다양체는 유한한 차원을 갖는다.

종류

고전적 대수기하학에서는 보통

• 아핀 다양체(affine多樣體, 영어: affine variety)
• 준아핀 다양체(準affine多樣體, quasiaffine variety)
• 사영 다양체(射影多樣體, 영어: projective variety)
• 준사영 다양체(準射影多樣體, 영어: projective variety)

를 정의한다.

아핀 다양체

$K$가 대수적으로 닫힌 체 (복소수체 등)라고 하자. $\mathbb {A} _{K}^{n}=\operatorname {Spec} K[x_{1},\dots ,x_{n}]$이 $K$에 대한 아핀 공간이라고 하자. 그렇다면 다음을 정의할 수 있다.

• 아핀 대수 집합은 $\mathbb {A} _{K}^{n}$의 축소 닫힌 부분 스킴이다.
• 아핀 다양체는 $\mathbb {A} _{K}^{n}$의 기약 축소 닫힌 부분 스킴이다.
• 준아핀 다양체는 어떤 아핀 다양체의 기약 축소 열린 부분 스킴이다.

고전적으로, $S$가 다항식환 $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$의 부분 집합이라고 할 때, $V(S)\subset \mathbb {A} ^{n}$가 $S$의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉

$V(S)=\{x|f(x)=0\forall f\in S\}$

이다. 그렇다면 아핀 대수 집합(affine代數集合, affine algebraic set) $X\subset \mathbb {A} ^{n}$이란 $X=V(S)$인 $S\subset K[x_{1},\dots ,x_{n}]$이 존재하는 부분 집합이다. 아핀 다양체는 두 개의 아핀 대수 집합의 자명하지 않는 합집합(즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 아핀 대수 집합이다.

아핀 대수 집합에는 자리스키 위상이라는 자연스러운 위상이 존재한다. 따라서 모든 아핀 대수 집합은 위상 공간을 이룬다.

준아핀 다양체는 아핀 다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 집합이다.

사영 다양체

$K$가 대수적으로 닫힌 체 (복소수체 등)라고 하자. $\mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$이 $K$에 대한 사영 공간이라고 하자. 그렇다면 다음을 정의할 수 있다.

• 사영 대수 집합은 $\mathbb {P} _{K}^{n}$의 축소 닫힌 부분 스킴이다.
• 사영 다양체는 $\mathbb {P} _{K}^{n}$의 기약 축소 닫힌 부분 스킴이다.
• 준사영 다양체는 어떤 사영 다양체의 기약 축소 열린 부분 스킴이다.

고전적으로, $S\subset K[x_{1},\dots ,x_{n}]$이 동차 다항식으로만 이루어져 있다고 하자. 그렇다면 $V(S)$가 $S$의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉

$V(S)=\{x|f(x)=0\forall f\in S\}$

이다. (다항식이 동차 다항식이 아닌 경우에는 사영 공간에서의 근을 정의할 수 없다.) 사영 대수 집합(射影代數集合, 영어: projective algebraic set) $X\subset \mathbb {A} ^{n}$이란 $X=V(S)$인 동차 다항식 부분 집합 $S\subset K[x_{1},\dots ,x_{n}]$이 존재하는 부분 집합이다. 사영 다양체는 두 개의 사영 대수 집합의 자명하지 않는 합집합(즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분 집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 사영 대수 집합이다. 준사영 다양체는 사영 다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 집합이다.

성질

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체들에 대하여, 다음 포함 관계가 성립한다.

아핀 다양체 ⊊ 준아핀 다양체 ⊊ 준사영 다양체 ⊊ 대수다양체 ⊊ $K$-스킴

사영 다양체 ⊊ 준사영 다양체 ⊊ 대수다양체 ⊊ $K$-스킴

아핀 다양체 ⊊ 아핀 대수 집합 ⊊ $K$-스킴

사영 다양체 ⊊ 사영 대수 집합 ⊊ $K$-스킴

이는 아핀 공간 $\mathbb {A} ^{n}$이 사영 공간 $\mathbb {P} ^{n}$의 자리스키 열린 집합이기 때문이다.

일반적으로 아핀 다양체는 사영 다양체일 필요가 없고, 반대로 사영 다양체는 아핀 다양체일 필요가 없다. 아핀/사영 다양체가 아닌 아핀/사영 대수 집합은 대수다양체가 아니다. 또한, 준사영 다양체가 아닌 대수다양체가 존재한다.

영점 정리

 이 부분의 본문은 힐베르트 영점 정리입니다.

힐베르트 영점 정리에 따르면, 아핀 다양체 $X=\operatorname {Spec} R$의 부분 대수다양체들은 정역 $R$의 소 아이디얼들과 일대일 대응하며, $X$의 부분 대수 집합들은 $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$의 근기 아이디얼들과 일대일 대응한다.

마찬가지로, 사영 다양체 $X=\operatorname {Proj} R$의 부분 대수다양체들은 등급환 $R$의 동차 소 아이디얼과 일대일 대응하며, 부분 대수 집합들은 $R$의 동차 근기 아이디얼들과 일대일 대응한다.

이는 범주론적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. 대수적으로 닫힌 체 $K$에 대한 아핀 다양체의 범주 $\operatorname {Aff} _{K}$의 반대 범주 $\operatorname {Aff} _{K}^{\operatorname {op} }$는 다음과 같은 범주와 동치이다.^{:20, Corollary 3.8}

• 대상은 정역인 유한 생성 $K$-단위 결합 대수이다.
• 사상은 $K$-단위 결합 대수의 준동형이다.

역사

아핀 다양체는 고대부터 유클리드 공간의 초곡면으로 오랫동안 연구되었다. 이후 복소수의 등장으로 대수기하학이 대수적으로 닫힌 체에서 훨씬 더 쉽다는 사실이 발견되었고, 또 사영기하학이 발달하면서 사영 공간 속의 (준)사영 다양체의 개념이 대두되었다.

"국소적으로 아핀 다양체와 동형인 공간"이라는, 대수다양체의 추상적인 정의는 앙드레 베유가 1946년에 제안하였다.^{:105, Remark 4.10.2} 베유는 원래 추상적 대수다양체의 개념을 야코비 다양체를 정의하려고 정의했는데,^{:105, Remark 4.10.2} 베유는 야코비 다양체가 사실 (준)사영 대수다양체라는 것을 보일 수 없었다. 이후 1954년에 저우웨이량이 사실은 사영 다양체라는 것을 보였고,^{:105, Remark 4.10.2} 1956년에 나가타 마사요시가 준사영 다양체가 아닌 대수다양체가 존재함을 증명하였다.

베유 이후, 1955년에 장피에르 세르가 대수다양체를 환 달린 공간의 개념을 사용하여 재정의하였다. 이 정의는 복소수에 대한 기존의 복소 대수기하학을 임의의 체 위에서도 할 수 있는 토대를 마련하였다. 이후 알렉산더 그로텐디크의 스킴 이론이 등장하면서, 대수다양체는 적절한 성질을 만족시키는 스킴으로 다시 한 번 재정의되었다.

바깥 고리

• “Algebraic variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Projective algebraic set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Affine variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Affine algebraic set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraic variety”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Affine variety”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Algebraic variety”. 
• “Projective variety”. 
• “Affine variety”. 

같이 보기

• 다양체
• 미분 가능 다양체
• 복소다양체
• 대수 곡선
• 대수 곡면
• 스킴 (수학)