완비 격자: 두 판 사이의 차이

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2015년 3월 19일 (목) 11:06 판

순서론에서, 완비 격자(完備格子, 영어: complete lattice)는 임의의 크기의 이음 및 만남이 존재하는 격자이다.

부분 순서 집합 $(L,\leq )$ 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 완비 격자라고 한다.

모든 부분 집합 $S\subseteq L$ 의 하한이 존재한다. 이를 $\bigwedge S$ 라고 쓰고, 부분 집합의 이음(영어: join)이라고 한다.
모든 부분 집합 $S\subseteq L$ 의 상한이 존재한다. 이를 $\bigvee S$ 라고 쓰고, 부분 집합의 만남(영어: meet)이라고 한다.

완비 격자 사상(영어: complete lattice morphism)은 모든 이음과 만남을 보존하는 함수이다.

이름과 같이, 완비 격자는 격자를 이루며, 또한 항상 유계 격자를 이룬다. (공집합의 이음과 만남이 각각 최대·최소 원소이다.) 반대로, 모든 유한 격자는 완비 격자이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

집합 $S$ 위의 멱집합 격자 $({\mathcal {P}}(S),\subseteq )$ 는 완비 격자이다.

집합 $S$ 위의 동치 관계들의 집합 $\operatorname {Eq} (S)$ 에, 만약

a\sim _{1}b\implies a\sim _{2}b

라면

\sim _{1}\leq \sim _{2}

라고 정의하자. 그렇다면 $\operatorname {Eq} (S)$ 는 완비 격자이다.

위상 공간 $X$ 에 대하여, 열린집합들의 부분 순서 집합은 완비 격자이자 헤이팅 대수이다.

닫힌구간 $[a,b]\subset \mathbb {R}$ 은 콤팩트 전순서 집합이므로 완비 격자이다.

군 $G$ 에 대하여, $G$ 의 부분군들의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합은 완비 격자이다.

환 $R$ 에 대하여, $R$ 의 아이디얼들의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합은 완비 격자이다.

양의 정수의 집합 $\mathbb {Z} ^{+}$ 에서, 인수 관계 $\mid$ 를 가하면, $(\mathbb {Z} ^{+},\mid )$ 은 완비 격자를 이룬다.

Davey, B.A.; H. A. Priestley (2002). 《Introduction to lattices and order》 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511809088. ISBN 978-0-521-78451-1. Zbl 1002.06001.

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 == 정의 ==
 [[부분 순서 집합]] <math>(L,\le)</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''완비 격자'''라고 한다.
-* 모든 부분 집합 <math>S\subseteq L</math>의 [[하한]]이 존재한다. 이를 <math>\bigvee S</math>라고 쓰고, 부분 집합의 '''이음'''({{llang|en|join}})이라고 한다.
+* 모든 부분 집합 <math>S\subseteq L</math>의 [[하한]]이 존재한다. 이를 <math>\bigwedge S</math>라고 쓰고, 부분 집합의 '''이음'''({{llang|en|join}})이라고 한다.
-* 모든 부분 집합 <math>S\subseteq L</math>의 [[상한]]이 존재한다. 이를 <math>\bigwedge S</math>라고 쓰고, 부분 집합의 '''만남'''({{llang|en|meet}})이라고 한다.
+* 모든 부분 집합 <math>S\subseteq L</math>의 [[상한]]이 존재한다. 이를 <math>\bigvee S</math>라고 쓰고, 부분 집합의 '''만남'''({{llang|en|meet}})이라고 한다.
 '''완비 격자 사상'''({{llang|en|complete lattice morphism}})은 모든 이음과 만남을 보존하는 함수이다.