동형 사상: 두 판 사이의 차이

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인라인

2015년 2월 20일 (금) 12:45 판

수학에서, 동형 사상(同型寫像, 영어: isomorphism)은 서로 구조가 같은 두 대상 사이에, 모든 구조를 보존하는 사상이다. 두 대상 사이에 동형 사상이 존재하는 경우 서로 동형(同型, 영어: isomorphic)이라고 하며, 서로 동형인 두 대상은 구조가 같아 구조로서 구별할 수 없다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$ 에서, 동형 사상은 다음 조건을 만족시키는 사상 $f\colon X\to Y$ 이다.

역사상이 존재한다. 즉, $f\circ g=\operatorname {id} _{Y}$ , $g\circ f=\operatorname {id} _{X}$ 인 사상 $g\colon Y\to X$ 가 존재한다.

두 대상 사이에 동형 사상이 존재하면, 서로 동형이라고 한다. 시작과 끝이 같은 동형 사상을 자기동형사상이라고 한다.

성질

서로 동형인 것은 동치 관계를 이룬다. 특히, 항등 함수가 동형 사상이므로, 모든 대상은 스스로에게 동형이다.

임의의 범주의 임의의 사상에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

동형 사상이다.
단사 사상이자 분할 전사 사상이다.
전사 사상이자 분할 단사 사상이다.

일반적으로, 단사 사상이자 전사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상들이 존재할 수 있다.

구체적 범주 ${\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$ 에서, 자유 함자(망각 함자 ${\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$ 의 왼쪽 수반 함자 $\operatorname {Set} \to {\mathcal {C}}$ 가 존재한다면, ${\mathcal {C}}$ 의 사상에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

동형 사상이다.
전단사 함수이다.

예

여러 범주에서, 동형 사상들은 특별한 이름이 붙는다.

집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$ 에서, 동형 사상은 전단사 함수이다.
대수 구조 다양체의 범주(군, 체, 환 등)에서, 동형 사상은 전단사 준동형 사상이다.
위상 공간과 연속 함수의 범주에서, 동형 사상은 위상동형사상이다.
매끈한 다양체의 범주에서, 동형 사상은 미분동형사상이다.

바깥 고리

“Isomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Isomorphism”.

같이 보기

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 * [[단사 사상]]이자 [[분할 전사 사상]]이다.
 * [[전사 사상]]이자 [[분할 단사 사상]]이다.
+일반적으로, 단사 사상이자 전사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상들이 존재할 수 있다.
+[[구체적 범주]] <math>\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>에서, 자유 함자(망각 함자 <math>\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>의 왼쪽 수반 함자 <math>\operatorname{Set}\to\mathcal C</math>가 존재한다면, <math>\mathcal C</math>의 사상에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
+* 동형 사상이다.
+* [[전단사 함수]]이다.
 ==예==
+여러 범주에서, 동형 사상들은 특별한 이름이 붙는다.
-===로그함수===
+* [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>에서, 동형 사상은 [[전단사 함수]]이다.
+* [[대수 구조 다양체]]의 범주(군, 체, 환 등)에서, 동형 사상은 [[전단사]] [[준동형 사상]]이다.
+* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주에서, 동형 사상은 [[위상동형사상]]이다.
+* [[매끈한 다양체]]의 범주에서, 동형 사상은 [[미분동형사상]]이다.
+== 바깥 고리 ==
-밑이 어떤 b로 고정되어 있을 때, 로그함수 <math>\log_b</math>는 양의 실수 <math>\mathbb{R}^+</math> 를 실수 전체 <math>\mathbb{R}</math>에 대응시킨다. 수학기호를 써서 표현하면,
+* {{eom|title=Isomorphism}}
+* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/isomorphism|제목=Isomorphism|작품명=nLab}}
-:<math>\log_b : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} \!</math>
-이 사상은 [[단사 함수|단사]]이며, 동시에 [[전사 함수|전사]]이다. 즉, 전단사 사상이다.
-더불어, 로그함수는 정의역과 치역 각각에서 정의되는 연산도 같이 보존한다. 특히 양의 실수에서 곱셈으로 정의되는 군 <math>(\mathbb{R}^+,\times)</math>을 살펴보면, 로그함수는 다음 관계를 만족한다.
-:<math>\log_b(x \times y) = \log_b x + \log_b y \!</math>
-실수는 덧셈에 대해서도 군이기 때문에, 로그함수는 군 <math>(\mathbb{R}^+,\times)</math> 에서 군 <math>(\mathbb{R},+)</math>로의 동형사상이다.
-이것이 실용적으로 뜻하는 것은, 우리가 실수의 곱셈을 더 간단한 실수의 덧셈으로 바꾸어 할 수 있다는 것이다.
 == 같이 보기 ==
 *[[자기동형사상]]
-*[[준동형사상]]
+* [[전사 사상]]
+* [[단사 사상]]
-*[[전사준동형사상]]
+* [[동형 정리]]
-*[[단사준동형사상]]
-*[[등거리변환]]
-*[[동형사상 정리]]
-{{토막글|대수학}}
 [[분류:추상대수학]]
-[[분류:대수학]]
 [[분류:범주론]]