헤세 행렬: 두 판 사이의 차이
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실함수 <math>f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n})</math>이 주어졌을 때, '''헤세 행렬'''은 다음과 같이 주어진다. |
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:<math>H(f) = \begin{bmatrix} |
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\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{1}} & \cdots & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}^2} |
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헤세 행렬은, 함수의 기울기 벡터 <math>\nabla f</math>에 대한 [[야코비 행렬]]로도 설명이 가능하다. |
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함수 <math>f</math>의 이계도함수가 [[연속함수|연속]]이라면 혼합 편미분은 같다. 그 때 이 행렬은 [[대칭행렬]]이다. |
함수 <math>f</math>의 이계도함수가 [[연속함수|연속]]이라면 혼합 편미분은 같다. 그 때 이 행렬은 [[대칭행렬]]이다. |
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== 테일러 급수와 헤세 행렬 == |
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== 테일러급수와 헤세행렬 == |
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{{참고|테일러 급수}} |
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함수 <math>f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>의 <math>n=2</math>인 [[ |
함수 <math>f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>의 <math>n=2</math>인 [[테일러 급수]]는 헤세 행렬을 이용해서 나태낼 수 있다. |
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:<math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +J\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}+\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> (여기서 <math>\mathbf{h}^T</math>는 <math>\mathbf{h}</math>가 열벡터라고 할때 그 [[전치행렬]]인 행벡터를 의미한다.) |
:<math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +J\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}+\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> (여기서 <math>\mathbf{h}^T</math>는 <math>\mathbf{h}</math>가 열벡터라고 할때 그 [[전치행렬]]인 행벡터를 의미한다.) |
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만약 <math>\mathbf{x}_0</math>가 [[임계점]]이라면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이므로 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 |
만약 <math>\mathbf{x}_0</math>가 [[임계점]]이라면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이므로 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세 행렬이 되는 셈이다. |
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* [[야코비 행렬]] |
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2015년 2월 8일 (일) 12:17 판
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미적분학 |
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미적분학에서, 헤세 행렬(Hesse行列, 영어: Hessian matrix)은 어떤 함수의 이계도함수를 행렬로 표현한 것이다. 헤세 행렬은 독일의 수학자 루트비히 오토 헤세의 이름을 따서 명명되었다. 헤세 행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.
정의
실함수 이 주어졌을 때, 헤세 행렬은 다음과 같이 주어진다.
헤세 행렬은, 함수의 기울기 벡터 에 대한 야코비 행렬로도 설명이 가능하다.
함수 의 이계도함수가 연속이라면 혼합 편미분은 같다. 그 때 이 행렬은 대칭행렬이다.
테일러 급수와 헤세 행렬
함수 의 인 테일러 급수는 헤세 행렬을 이용해서 나태낼 수 있다.
- 에 대해 (여기서 는 가 열벡터라고 할때 그 전치행렬인 행벡터를 의미한다.)
만약 가 임계점이라면 이므로 에 대해 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세 행렬이 되는 셈이다.
바깥 고리
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Hessian”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.